Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơnTrả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 74 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Lấy hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) sao cho \({\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right),\) \({\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)\) (Hình 31).
\
a) Nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\).
b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) như trên không?
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với m và n.
Lời giải chi tiết:
a) Vẽ hai đường thẳng \(\Delta _1',\Delta _2'\) cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với \({\Delta _1},{\Delta _2}\). Khi đó, góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _1',\Delta _2'\).
b) Vì \({\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right)\) và \(\Delta _1'\) song song (hoặc trùng) với \({\Delta _1}\) nên \(\Delta _1' \bot \left( {{P_1}} \right)\).
Tương tự ta có: \(\Delta _2' \bot \left( {{P_2}} \right)\).
Khi đó, góc giữa hai đường thẳng \(\Delta _1',\Delta _2'\) luôn là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\) nên góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) không phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 74 SGK Toán 12 Cánh diều
Trong Ví dụ 10, tính góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Vì ADD’A’ là hình vuông nên \(AD' \bot A'D\). Vì \(CD \bot \left( {ADD'A'} \right)\) nên \(CD \bot AD'\). Do đó, \(AD' \bot \left( {CDA'B'} \right)\).
Mặt khác, \(C'D' \bot \left( {BCC'B'} \right)\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) là góc giữa hai đường thẳng AD’ và C’D’, đó là góc AD’C’.
Vì \(C'D' \bot \left( {ADD'A'} \right)\) nên \(C'D' \bot AD'\), suy ra . Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (CDA’B’) bằng 90 độ.
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 75 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Gọi \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{P_2}} \right)\); \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt là giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \) (Hình 33). So sánh:
a) \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\);
b) \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\) và \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Nếu vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và có giá vuông góc với mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n \) được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Sử dụng kiến thức về vectơ chỉ phương của đường thẳng để chứng minh: Cho đường thẳng \(\Delta \) và vectơ \(\overrightarrow u \) khác \(\overrightarrow 0 \). Vectơ \(\overrightarrow u \) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \).
Lời giải chi tiết:
a) Vì \({\Delta _1} \bot \left( {{P_1}} \right)\) nên đường thẳng \({\Delta _1}\) nhận một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) của mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Vì \({\Delta _2} \bot \left( {{P_2}} \right)\) nên đường thẳng \({\Delta _2}\) nhận một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \) của mặt phẳng \(\left( {{P_2}} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
Do đó, góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) là góc giữa hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Vậy \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)\).
b) Ta có:\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right|\).
Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 75 SGK Toán 12 Cánh diều
Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\). Tính côsin của góc giữa mặt phẳng (P) và các mặt phẳng tọa độ.
Phương pháp giải:
Sử dụng kiến thức về côsin góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( {{P_1}} \right)\), \(\left( {{P_2}} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)\), \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right)\). Khi đó, ta có: \(\cos \left( {\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)} \right) = \frac{{\left| {{A_1}{A_2} + {B_1}{B_2} + {C_1}{C_2}} \right|}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} .\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2} }}\).
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\); mặt phẳng (Oxz) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\); mặt phẳng (Oyz) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)\)
Do đó, \(\cos \left( {\left( {Oxy} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.A + 0.B + 1.C} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{\left| C \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\);
\(\cos \left( {\left( {Oxz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {0.A + 1.B + 0.C} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{\left| B \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\);
\(\cos \left( {\left( {Oyz} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1.A + 0.B + 0.C} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = \frac{{\left| A \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).
\