Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian
Chào mừng bạn đến với Chương 5 của tài liệu học Toán không gian tại tusach.vn! Chương này là một bước quan trọng trong việc làm chủ hình học không gian, cung cấp nền tảng vững chắc cho các chương trình học nâng cao và ứng dụng thực tế.
I. Phương trình mặt phẳng
Một mặt phẳng trong không gian Oxyz được xác định bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vector pháp tuyến của mặt phẳng. Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Trong đó:
(A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.D là một hằng số.
Các dạng phương trình mặt phẳng khác:
- Phương trình tham số: Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0, y0, z0) và có vector pháp tuyến
n = (A, B, C) có thể được biểu diễn bằng phương trình tham số. - Phương trình theo đoạn chắn: Nếu mặt phẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) thì phương trình mặt phẳng có dạng:
x/a + y/b + z/c = 1
II. Phương trình đường thẳng
Một đường thẳng trong không gian Oxyz được xác định bởi một điểm thuộc đường thẳng và một vector chỉ phương của đường thẳng. Có hai dạng phương trình chính:
III. Phương trình mặt cầu
Mặt cầu trong không gian Oxyz là tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính). Phương trình mặt cầu có dạng:
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
Trong đó:
(a, b, c) là tọa độ tâm của mặt cầu.R là bán kính của mặt cầu.
IV. Quan hệ giữa các đối tượng và ứng dụng
Chương này cũng sẽ đề cập đến các vấn đề quan trọng như:
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, từ một điểm đến đường thẳng.
- Tìm giao điểm của hai mặt phẳng, của mặt phẳng và đường thẳng, của hai đường thẳng.
Ví dụ minh họa:
Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và vuông góc với vector n = (4, -5, 6).
Áp dụng công thức phương trình tổng quát của mặt phẳng, ta có:
4(x - 1) - 5(y - 2) + 6(z - 3) = 0
4x - 4 - 5y + 10 + 6z - 18 = 0
4x - 5y + 6z - 12 = 0
V. Bài tập luyện tập
Để củng cố kiến thức, bạn nên thực hành giải các bài tập sau:
- Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
- Xác định bán kính của mặt cầu khi biết tâm và một điểm thuộc mặt cầu.
Chúc bạn học tập hiệu quả với Chương 5: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian tại tusach.vn! Đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
