Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Chào mừng bạn đến với bài học thứ hai trong chuỗi bài giảng về lý thuyết xác suất. Trong bài học này, chúng ta sẽ khám phá hai công thức vô cùng quan trọng và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

1. Công thức xác suất toàn phần

1.1. Định nghĩa:

Giả sử A là một biến cố. Ta gọi {B₁, B₂, ..., B_n} là một hệ đầy đủ các biến cố đối với A nếu:

• Các biến cố B_i đôi một xung khắc (B_i ∩ B_j = ∅ với mọi i ≠ j).
• P(B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n) = 1.

Khi đó, công thức xác suất toàn phần cho phép tính xác suất của biến cố A như sau:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n) = ∑_i=1ⁿ P(A|B_i)P(B_i)

1.2. Ví dụ minh họa:

Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất. Dây chuyền 1 sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền 2 sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 5%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• A: Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• B₁: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 1.
• B₂: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.05

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.05 * 0.4 = 0.032

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 3.2%.

2. Công thức Bayes

2.1. Định nghĩa:

Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện P(B_i|A) khi biết P(A|B_i), P(B_i) và P(A). Công thức được biểu diễn như sau:

P(B_i|A) = [P(A|B_i)P(B_i)] / P(A)

Trong đó, P(A) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.

2.2. Ví dụ minh họa:

Sử dụng lại ví dụ trên, tính xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 2.

Giải:

• A: Sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi.
• B₂: Sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền 2.

Ta đã tính được P(A) = 0.032. Ta có P(A|B₂) = 0.05 và P(B₂) = 0.4.

Áp dụng công thức Bayes:

P(B₂|A) = [P(A|B₂)P(B₂)] / P(A) = (0.05 * 0.4) / 0.032 = 0.625

Vậy, xác suất một sản phẩm lỗi được sản xuất từ dây chuyền 2 là 62.5%.

3. Ứng dụng của công thức xác suất toàn phần và Bayes

Hai công thức này có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Y học: Chẩn đoán bệnh dựa trên kết quả xét nghiệm.
• Kỹ thuật: Kiểm tra chất lượng sản phẩm.
• Thống kê: Phân tích dữ liệu và đưa ra dự đoán.
• Trí tuệ nhân tạo: Xây dựng các hệ thống học máy.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác để nắm vững kiến thức này nhé!