Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 3: Đường Tiệm Cận của Đồ Thị Hàm Số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hơn hình dạng của đồ thị và dự đoán hành vi của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiếp cận khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

2. Các loại đường tiệm cận

• Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
• Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
• Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

3. Cách xác định đường tiệm cận

Để xác định đường tiệm cận, chúng ta cần tính các giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng hoặc một giá trị cụ thể.

3.1. Xác định tiệm cận đứng

Tìm các giá trị x sao cho mẫu số của hàm số bằng 0 và tử số khác 0. Các giá trị này là nghiệm của phương trình mẫu số bằng 0, và chúng xác định các đường tiệm cận đứng.

3.2. Xác định tiệm cận ngang

Tính lim_x→+∞ f(x) và lim_x→-∞ f(x). Nếu các giới hạn này hữu hạn, thì các giá trị giới hạn này là phương trình của các đường tiệm cận ngang.

3.3. Xác định tiệm cận xiên

Nếu hàm số y = f(x) là hàm phân thức bậc hai, ta có thể tìm tiệm cận xiên bằng cách:

1. Tính a = lim_x→+∞ f(x)/x hoặc lim_x→-∞ f(x)/x.
2. Tính b = lim_x→+∞ [f(x) - ax] hoặc lim_x→-∞ [f(x) - ax].
3. Phương trình tiệm cận xiên là y = ax + b.

4. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

• Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
• Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2 và lim_x→-∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
• Tiệm cận xiên: Không có (vì hàm số không có tiệm cận xiên).

5. Bài tập luyện tập

Hãy xác định đường tiệm cận của các hàm số sau:

• y = (x + 2) / (x - 3)
• y = (3x² + 1) / (x² - 4)
• y = (x² - 5x + 6) / (x + 1)

Lưu ý: Việc nắm vững kiến thức về đường tiệm cận là rất quan trọng để giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và kỹ năng của bạn.

Chúc bạn học tốt! Truy cập tusach.vn để xem thêm nhiều bài học và tài liệu học tập hữu ích khác.