Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
\(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Viết phương trình ảnh của (C)
a) qua phép vị tự tâm O, tỉ số \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}2;\)
b) qua phép vị tự tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}1} \right),\) tỉ số \(k{\rm{ }} = {\rm{ }}-2.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \({V_{(I,k)}}{\rm{[}}M(x,y){\rm{]}} = M'(x',y')\). Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' - a = k(x - a)\\y' - b = k(y - b)\end{array} \right.\) với \(I(a;b)\)
Phép vị tự tỉ số k biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng |k|, biến đường tròn bán kính r thành đường tròn bán kính \(r' = |k|.r\).
Lời giải chi tiết
Đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\; + {\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}2y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có tâm A(–2; 1) và bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 4} \right)} = 3\)
a) Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\)
Khi đó (C’) có tâm ảnh của A qua \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\) và bán kính
Gọi \(A'\left( {x';{\rm{ }}y'} \right)\) là ảnh của A qua \({V_{\left( {O,{\rm{ }}2} \right)}}\).
Suy ra \(\overrightarrow {OA'} = 2\overrightarrow {OA} \) với \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 2;1} \right)\) và \(\overrightarrow {OA'} = \left( {x';y'} \right)\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.( - 2) = - 4\\y' = 2.1 = 2\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\;A'\left( {-4;{\rm{ }}2} \right).\)
Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \(\;{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}36.\)
b) Gọi đường tròn (C’’) là ảnh của đường tròn (C) qua \({V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}.\)
Khi đó \(\left( {C'''} \right)\) có tâm ảnh của A qua \({V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}\) và bán kính \(R'' = {\rm{ }}\left| {-2} \right|.R{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3{\rm{ }} = {\rm{ }}6.\)
Gọi \(A''\left( {x'';{\rm{ }}y''} \right)\) là ảnh của A qua \({V_{\left( {I,{\rm{ }}-2} \right)}}.\)
Suy ra \(\overrightarrow {IA'} = - 2\overrightarrow {IA} \) với \(\overrightarrow {I{A'}} = \left( {{{x'}'} - 1;{{y'}'} - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 3;0} \right)\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x'' - 1 = \left( { - 2} \right).( - 3)\\y' - 1 = \left( { - 2} \right).0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = 7\\y' = 1\end{array} \right.\)
Suy ra tọa độ \(A''\left( {7;{\rm{ }}1} \right).\)
Vậy phương trình đường tròn (C”) là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}36.\)
