Đề bài
Cho đường thẳng d cố định, xét phép biến hình f biến điểm M thuộc d thành chính nó và biến điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là trung trực của đoạn MM’. Hãy chứng minh f là một phép dời hình.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.
Lời giải chi tiết
• Phép biến hình f biến 1 điểm thuộc d thành chính nó, do đó khoảng cách giữa hai điểm bất kì thuộc d qua phép biến hình f được bảo toàn (1)
• Lấy hai điểm M, N bất kì không thuộc d.
Ta có \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( M \right)\;,\,N'{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( N \right).\)
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MM’ và NN’.
Suy ra \(\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} = \vec 0;\,\,\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} = \vec 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{M'H}}} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} } \right) + 2\overrightarrow {HK} \end{array}\)
\( = \vec 0 + \vec 0 + 2\overrightarrow {HK} \) (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)
\( = 2\overrightarrow {HK} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} } \right) - \left( {\overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} } \right)\\ = \overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HN'} + \overrightarrow {HM'} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'} - \overrightarrow {HM} } \right) = \overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} \end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}{\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} } \right)\\ = 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'} = 2.0 + 2.0 = 0\end{array}\)
(do d là đường trung trực của MM’, NN’ nên \(\overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow {HK} ;\,\,\overrightarrow {NN'} \bot \overrightarrow {HK} \))
Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2}\)
Do đó \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Vậy f là một phép dời hình.
