Đề bài
Cho tam giác ABC có góc B, góc C đều là góc nhọn. Nêu cách vẽ hình chữ nhật DEFG có đỉnh D, đỉnh E thuộc cạnh BC, đỉnh F, đỉnh G thuộc cạnh AC, AB và có EF = 2DE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựa vào phép vị tự để làm: Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.
Lời giải chi tiết
⦁ Phân tích:
Lấy điểm G’ bất kì trên AB.
Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có \(\;E'F'{\rm{ }} = {\rm{ }}2D'E'\) và hai đỉnh D’, E’ thuộc BC.
Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.
Do D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên \(G'D'{\rm{ }} \bot {\rm{ }}D'E'\) hay \(G'D'{\rm{ }} \bot {\rm{ }}BC.\)
Mà GD ⊥ BC (do DEFG là hình chữ nhật).
Nên G’D’ // GD.
Chứng minh tương tự, ta được E’F’ // EF.
Vì D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên G’F’ // D’E’ hay G’F’ // BC.
Mà GF // BC (do DEFG là hình chữ nhật).
Suy ra GF // G’F’.
Áp dụng định lí Thales, ta được \(\frac{{BG}}{{BG'}} = \frac{{BF}}{{BF'}}\)
Suy ra \(BF' = \frac{{BG'}}{{BG}}.BF\)
Mà \(\overrightarrow {BF'} ,\overrightarrow {BF} \) cùng hướng.
Do đó \(\overrightarrow {BF'} = \frac{{BG'}}{{BG}}.\overrightarrow {BF} \)
Vì vậy \({\rm{F'}} = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( F \right)\,\,(1)\)
Chứng minh tương tự, ta được \(D' = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( D \right)\) và \(E' = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( E \right)\,\,(2)\)
Lại có \(G' = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( G \right)\,\,(3)\)
Từ (1), (2), (3), ta thu được \({V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\) biến hình chữ nhật D’E’F’G’ thành hình chữ nhật DEFG. Từ đó, ta suy ra cách dựng hình chữ nhật DEFG.
⦁ Cách dựng:
Lấy điểm G’ tùy ý trên AB.
Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có E’F’ = 2D’E’, hai đỉnh D’, E’ nằm trên BC.
Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.
Đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G.
Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của G, F lên BC.
Vậy ta đã dựng xong hình chữ nhật DEFG.
