Đề bài
Ở một khu vực, tất cả trẻ sơ sinh đều đã được tiêm từ 1 đến 4 liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi.
Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ trẻ em theo số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B đã được tiêm cho đến khi được 18 tháng tuổi ở khu vực đó.
a) Trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm bao nhiêu liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi?
b) Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 50 trẻ em từ khu vực đó. Gọi X là số trẻ em đã được tiêm ít nhất 3 mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi. Hãy tính kì vọng và phương sai của X.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:
Kì vọng của X được tính bởi công thức: \(E\left( X \right) = {x_1}{p_1} + {x_2}{p_2} + ... + {x_n}{p_n}\).
‒ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức \(B\left( {n;p} \right)\). Khi đó:
\(P\left( {X = k} \right) = {C}_n^k.{p^k}.{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\), với \(k = 0,1,...,n\); \(E\left( X \right) = np\) và \(V\left( X \right) = np\left( {1 - p} \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Bảng phân bố xác suất của X:
Số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm trước khi được 18 tháng tuổi là:
\(E\left( X \right) = 1.0,05 + 2.0,15 + 3.0,3 + 4.0,5 = 3,25\)
b) Xác suất để trẻ được tiêm ít nhất 3 mũ vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi là: \(P\left( {X \ge 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) = 0,3 + 0,5 = 0,8\).
Gọi \(T\) là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em ở khu vực đó” và \(A\) là biến cố: “Trẻ đã được tiêm ít nhất 3 mũ vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố \(A\) khi lặp lại 50 lần phép thử \(T\).
Do phép thử \(T\) được thực hiện 50 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố \(A\) mỗi lần thử là 0,8 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức \(B\left( {50;0,8} \right)\).
Kì vọng của X là: \(E\left( X \right) = 50.0,8 = 40\).
Phương sai của X là: \(V\left( X \right) = 50.0,8\left( {1 - 0,8} \right) = 8\).
