Bài 2. Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức

Chào mừng bạn đến với bài học về Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức – hai khái niệm nền tảng trong lĩnh vực thống kê và lý thuyết xác suất. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hai phân bố này, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tế.

1. Phân bố Bernoulli

Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một sự kiện duy nhất. Đây là một trường hợp đặc biệt của phân bố nhị thức với chỉ một lần thử nghiệm.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Bernoulli với tham số p (0 ≤ p ≤ 1) nếu nó chỉ nhận hai giá trị: 1 (thành công) với xác suất p và 0 (thất bại) với xác suất 1-p.
• Hàm khối xác suất (PMF): P(X = x) = p^x(1-p)^1-x, với x ∈ {0, 1}
• Giá trị kỳ vọng: E(X) = p
• Phương sai: Var(X) = p(1-p)

Ví dụ: Tung một đồng xu. Nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1-p = 0.5.

2. Phân bố Nhị thức

Phân bố Nhị thức mô tả số lần thành công trong một số lượng cố định n các lần thử nghiệm độc lập, mỗi lần thử nghiệm có xác suất thành công là p.

• Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Nhị thức với các tham số n (số lần thử nghiệm) và p (xác suất thành công) nếu nó biểu thị số lần thành công trong n lần thử nghiệm độc lập.
• Hàm khối xác suất (PMF): P(X = k) = C_n^k * p^k * (1-p)^n-k, với k ∈ {0, 1, ..., n} (C_n^k là tổ hợp chập k của n)
• Giá trị kỳ vọng: E(X) = np
• Phương sai: Var(X) = np(1-p)

Ví dụ: Tung một đồng xu 10 lần. Số lần xuất hiện mặt ngửa tuân theo phân bố Nhị thức với n = 10 và p = 0.5.

3. Mối quan hệ giữa Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức

Phân bố Nhị thức có thể được xem là tổng của n biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến có cùng xác suất thành công p. Nói cách khác, nếu X₁, X₂, ..., X_n là các biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với tham số p, thì tổng S = X₁ + X₂ + ... + X_n tuân theo phân bố Nhị thức với các tham số n và p.

4. Ứng dụng của Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức

Hai phân bố này có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau:

• Kiểm định chất lượng: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu thị trường: Dự đoán tỷ lệ khách hàng tiềm năng sẽ mua một sản phẩm.
• Y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Khoa học máy tính: Mô hình hóa các sự kiện nhị phân trong các thuật toán học máy.

5. Bài tập ví dụ

Bài tập: Một máy sản xuất bóng đèn có tỷ lệ bóng đèn bị lỗi là 2%. Chọn ngẫu nhiên 100 bóng đèn từ máy này. Tính xác suất có đúng 3 bóng đèn bị lỗi.

Giải: Bài toán này có thể được giải bằng phân bố Nhị thức với n = 100 và p = 0.02. Xác suất có đúng 3 bóng đèn bị lỗi là:

P(X = 3) = C₁₀₀³ * (0.02)³ * (0.98)⁹⁷ ≈ 0.1823

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn rõ ràng và đầy đủ về Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức. Hãy luyện tập thêm với các bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức này nhé!