Giải bài 4 trang 70 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tỉ lệ phát bóng hỏng của một vận động viên bóng chuyền là 15%. Vận động viên đó thực hiện 40 quả phát bóng một cách độc lập với nhau. Gọi \(X\) là số quả phát bóng hỏng trong 40 quả đó.

a) Tính kì vọng và phương sai của \(X\).

b) Hỏi xác suất \(X\) nhận giá trị bằng bao nhiêu là lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Gọi \(T\) là phép thử: “Vận động viên thực hiện phát bóng” và \(A\) là biến cố: “Vận động viên đó phát bóng hỏng”. Gọi \(X\) là số lần xảy ra biến cố \(A\) khi lặp lại 40 lần phép thử \(T\).

Do phép thử \(T\) được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố \(A\) mỗi lần thử là 0,15 nên \(X\) là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức \(B\left( {40;0,15} \right)\).

a) Kì vọng của \(X\) là: \(E\left( X \right) = 40.0,15 = 6\).

Phương sai của \(X\) là: \(E\left( X \right) = 40.0,15\left( {1 - 0,15} \right) = 5,1\).

b) Giả sử xác suất \(X\) nhận giá trị bằng \(k\) là lớn nhất. Ta có:

\(P\left( {X = k} \right) = {C}_{40}^k{.0,15^k}.{\left( {1 - 0,15} \right)^{40 - k}} = {C}_{40}^k{.0,15^k}{.0,85^{40 - k}} = {C}_{40}^k.{\left( {\frac{{0,15}}{{0,85}}} \right)^k}{.0,85^{40}} = {C}_{40}^k{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}\)

Khi đó \(P\left( {X = k + 1} \right) = {C}_{40}^{k + 1}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^{k + 1}}\)

TH1: \(P\left( {X = k} \right) > P\left( {X = k + 1} \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}{C}_{40}^k{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}{ > C}_{40}^{k + 1}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^{k + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{40!}}{{k!\left( {40 - k} \right)!}}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k} - \frac{{40!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {40 - k - 1} \right)!}}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}.\frac{3}{{17}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{{40!}}{{k!\left( {39 - k} \right)!}}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}\left( {\frac{1}{{40 - k}} - \frac{3}{{17}}.\frac{1}{{k + 1}}} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{40 - k}} - \frac{3}{{17}}.\frac{1}{{k + 1}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{17\left( {k + 1} \right) - 3\left( {40 - k} \right)}}{{17\left( {k + 1} \right)\left( {40 - k} \right)}} > 0 \Leftrightarrow 20k - 103 > 0 \Leftrightarrow k > \frac{{103}}{{20}} \approx 5,15\end{array}\)

Khi đó: \(P\left( {X = 6} \right) > P\left( {X = 7} \right) > ... > P\left( {X = 40} \right)\)

TH2: \(P\left( {X = k} \right) < P\left( {X = k + 1} \right)\). Ta có:

\(\begin{array}{l}{C}_{40}^k{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}{ < C}_{40}^{k + 1}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^{k + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{{40!}}{{k!\left( {40 - k} \right)!}}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k} - \frac{{40!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {40 - k - 1} \right)!}}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}.\frac{3}{{17}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{40!}}{{k!\left( {39 - k} \right)!}}{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^k}\left( {\frac{1}{{40 - k}} - \frac{3}{{17}}.\frac{1}{{k + 1}}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{40 - k}} - \frac{3}{{17}}.\frac{1}{{k + 1}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{17\left( {k + 1} \right) - 3\left( {40 - k} \right)}}{{17\left( {k + 1} \right)\left( {40 - k} \right)}} < 0 \Leftrightarrow 20k - 103 < 0 \Leftrightarrow k < \frac{{103}}{{20}} \approx 5,15\end{array}\)

Khi đó: \(P\left( {X = 0} \right) < P\left( {X = 1} \right) < ... < P\left( {X = 5} \right)\)

Ta có: \(P\left( {X = 5} \right) = {C}_{40}^5{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^5} \approx 0,169\) và \(P\left( {X = 6} \right) = {C}_{40}^6{.0,85^{40}}.{\left( {\frac{3}{{17}}} \right)^6} \approx 0,174\)

Do đó \(P\left( {X = 5} \right) < P\left( {X = 6} \right)\)

Khi đó \(P\left( {X = 0} \right) < P\left( {X = 1} \right) < ... < P\left( {X = 5} \right) < P\left( {X = 6} \right) > P\left( {X = 7} \right) > ... > P\left( {X = 40} \right)\)

Vậy xác suất \(X\) nhận giá trị bằng 6 là cao nhất.