Bài 1. Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc
Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên là một biến có giá trị là một kết quả số học của một hiện tượng ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục, tùy thuộc vào tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận.
1. Định nghĩa Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc
Biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến ngẫu nhiên mà tập hợp các giá trị có thể nhận là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. Nói cách khác, các giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc có thể được liệt kê.
Ví dụ:
- Số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa.
- Số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
- Số lượng khách hàng đến cửa hàng trong một giờ.
2. Hàm Phân Phối Xác Suất (PMF)
Hàm phân phối xác suất (Probability Mass Function - PMF) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là P(X = x), cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận một giá trị cụ thể x.
Tính chất của PMF:
- 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x.
- ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị có thể nhận phải bằng 1).
3. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tung một đồng xu công bằng hai lần. Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện mặt ngửa.
Các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, và 2.
Ví dụ 2: Một hộp chứa 5 quả bóng, trong đó có 3 quả bóng đỏ và 2 quả bóng xanh. Rút ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp mà không hoàn lại. Biến ngẫu nhiên X là số lượng quả bóng đỏ được rút.
Các giá trị có thể nhận của X là 0, 1, và 2. Việc tính toán P(X = x) đòi hỏi sử dụng kiến thức về tổ hợp.
4. Hàm Phân Phối Tích Lũy (CDF)
Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function - CDF) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là F(x), cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận một giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x.
F(x) = P(X ≤ x) = ∑ P(X = t) với t ≤ x
5. Ứng dụng của Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc
Biến ngẫu nhiên rời rạc được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:
- Thống kê học: Phân tích dữ liệu rời rạc, kiểm định giả thuyết.
- Khoa học máy tính: Mô hình hóa các thuật toán, phân tích hiệu suất.
- Tài chính: Đánh giá rủi ro, định giá các công cụ tài chính.
- Bảo hiểm: Tính toán phí bảo hiểm, đánh giá rủi ro.
6. Bài tập thực hành
Để củng cố kiến thức, hãy thử giải các bài tập sau:
- Một con xúc xắc sáu mặt được tung một lần. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.
- Một cửa hàng bán 100 chiếc điện thoại. Giả sử xác suất một chiếc điện thoại bị lỗi là 0.05. Tìm xác suất có đúng 5 chiếc điện thoại bị lỗi.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan về biến ngẫu nhiên rời rạc. Hãy tiếp tục khám phá các chủ đề liên quan để nâng cao kiến thức của bạn về lý thuyết xác suất và thống kê.
