Đề bài
Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang là hình tạo bởi một nửa hình tròn ghép với một hình chữ nhật (Hình 6). Biết rằng mặt cắt ngang có diện tích 2 m2. Các kích thước \(x,y\) (đơn vị: m) bằng bao nhiêu để chu vi của mặt cắt ngang là nhỏ nhất? Tính chu vi nhỏ nhất đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
• Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\), biểu thị chu vi thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.
• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:
‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.
‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.
Lời giải chi tiết
Bán kính nửa hình tròn là \(\frac{x}{2}\).
Diện tích nửa hình tròn là \(\frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
Diện tích hình chữ nhật là \(xy\).
Diện tích mặt cắt ngang là: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8}\).
Do diện tích mặt cắt ngang bằng 2m2 nên ta có: \(xy + \frac{{\pi {x^2}}}{8} = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right)\).
Do \(x,y > 0\) nên ta có: \(\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8} > 0 \Leftrightarrow \frac{{\pi {x^2}}}{8} < 2 \Leftrightarrow {x^2} < \frac{{16}}{\pi } \Leftrightarrow x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\)
Chu vi của mặt cắt ngang là:
\(P = \frac{1}{2}.2\pi .\frac{x}{2} + x + 2y = \frac{{\pi x}}{2} + x + 2.\frac{1}{x}\left( {2 - \frac{{\pi {x^2}}}{8}} \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) với \(0 < x < \frac{4}{{\sqrt \pi }}\).
Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right)x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\).
Ta có: \(P'\left( x \right) = \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}}\)
\(P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {1 + \frac{\pi }{4}} \right) - \frac{4}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{16}}{{\pi + 4}} \Leftrightarrow x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) hoặc \(x = - \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}\) (loại).
Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)\):
Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;\frac{4}{{\sqrt \pi }}} \right)} P\left( x \right) = P\left( {\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}} \right) \approx 5,34\).
Vậy chu vi nhỏ nhất của mặt cắt ngang của đường cống là khoảng 5,34 m khi \(x = \frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }} \approx 1,50\left( m \right)\) và \(y = \frac{2}{{\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}} - \frac{{\pi .\frac{4}{{\sqrt {\pi + 4} }}}}{8} \approx 0,75\left( m \right)\).
