Bài 2. Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu

Chào mừng các bạn đến với Bài 2 trong chuyên mục ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Trong bài học này, chúng ta sẽ tập trung vào việc sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của một hàm số trên một khoảng xác định. Đây là một kỹ năng vô cùng quan trọng, không chỉ trong toán học mà còn ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác như kinh tế, kỹ thuật, và khoa học.

1. Khái niệm cơ bản về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu thường gặp trong thực tế có dạng: Tìm giá trị của biến x sao cho hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên một khoảng cho trước. Ví dụ, một công ty muốn tối đa hóa lợi nhuận, hoặc một kỹ sư muốn thiết kế một cấu trúc sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.

2. Các bước giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm

1. Tìm tập xác định của hàm số: Xác định khoảng mà biến x có thể nhận giá trị.
2. Tính đạo hàm f'(x): Đạo hàm của hàm số f(x).
3. Tìm các điểm dừng (critical points): Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0. Ngoài ra, cần xem xét các điểm mà đạo hàm không tồn tại.
4. Xác định loại điểm dừng: Sử dụng đạo hàm cấp hai f''(x) để xác định xem mỗi điểm dừng là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm uốn.
5. Kiểm tra các giá trị biên: Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của khoảng xác định.
6. So sánh các giá trị: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên khoảng [-1, 3].

• f'(x) = 3x² - 6x
• 3x² - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
• f''(x) = 6x - 6
• f''(0) = -6 < 0 => x = 0 là điểm cực đại
• f''(2) = 6 > 0 => x = 2 là điểm cực tiểu
• f(-1) = -6, f(0) = 2, f(2) = -2, f(3) = 8
• Vậy, giá trị lớn nhất là 8 tại x = 3, giá trị nhỏ nhất là -6 tại x = -1.

4. Lưu ý quan trọng

Khi giải bài toán tối ưu, cần chú ý:

• Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
• Đảm bảo rằng các điểm dừng nằm trong khoảng xác định.
• Không bỏ qua việc kiểm tra các giá trị biên.

5. Bài tập thực hành

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy thử giải các bài tập sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x² - 4x + 1 trên khoảng [0, 2].
2. Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?

Tusach.vn hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về việc vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Chúc các bạn học tập tốt!