Đề bài
Hàm lượng các vi chất (chất vi lượng) calcium, phosphorus và iron chứa trong 100 g hai loại thực phẩm X và Y được cho ở bảng sau:
Từ hai loại thực phẩm X và Y, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm hỗn hợp chứa ít nhất 2000 mg calcium, 3000 mg phosphorus, 48 mg iron. Cần chọn bao nhiêu gam mỗi loại thực phẩm X và Y sao cho lượng thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Đặt hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết (cần tìm). Viết điều kiện có nghĩa cho các ẩn đó.
Bước 2: Từ dữ kiện của bài toán, viết biểu thức biểu thị đại lượng cần tìm giá trị tối ưu và các bất phương trình bậc nhất đối với hai ẩn trên. Từ đó phát biểu bài toán quy hoạch tuyến tính nhận được.
Bước 3: Giải bài toán quy hoạch tuyến tính và trả lời.
Lời giải chi tiết
Gọi \(x,y\) (\(x \ge 0,y \ge 0\), tính theo 100g) lần lượt là khối lượng thực phẩm X và Y cần chọn.
Cần cung cấp ít nhất 2000 mg calcium nên ta có \(200x + 500y \ge 2000\) hay \(2x + 5y - 20 \ge 0\).
Cần cung cấp ít nhất 3000 mg phosphorus nên ta có \(600x + 300y \ge 3000\) hay \(2x + y - 10 \ge 0\).
Cần cung cấp ít nhất 48 mg iron nên ta có \(8x + 6y \ge 48\) hay \(4x + 3y - 24 \ge 0\).
Khối lượng thực phẩm cần mua là \(F = 100\left( {x + y} \right)\) (nghìn đồng).
Từ đó, ta cần giải bài toán quy hoạch tuyến tính: \(F = 100\left( {x + y} \right) \to \min \) với ràng buộc \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 20 \ge 0\\2x + y - 10 \ge 0\\4x + 3y - 24 \ge 0\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Tập phương án \({\Omega }\) của bài toán là miền không gạch (không là miền đa giác).
Ta có \(A\left( {0;10} \right),D\left( {10;0} \right)\).
Toạ độ \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 10\\4x + 3y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\). Vậy \(B\left( {3;4} \right)\).
Toạ độ \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x+5y=20\\4x+3y=24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=\frac{30}{7}\\y=\frac{16}{7}\end{array} \right.\). Vậy \(C\left( {\frac{{30}}{7};\frac{{16}}{7}} \right)\).
Giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của \({\Omega }\):
\(F\left( {0;10} \right) = 1000;F\left( {3;4} \right) = 700;F\left( {\frac{{30}}{7};\frac{{16}}{7}} \right) = \frac{{4600}}{7};F\left( {10;0} \right) = 1000\)
Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\Omega } F = F\left( {\frac{{30}}{7};\frac{{16}}{7}} \right) = \frac{{4600}}{7}\).
Vậy cần mua \(\frac{{30}}{7}.100g = \frac{{3000}}{7}g \approx 429g\) thực phẩm X và \(\frac{{16}}{7}.100g = \frac{{1600}}{7}g \approx 229g\) thực phẩm Y để thực phẩm hỗn hợp có khối lượng nhỏ nhất.
