Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Một cửa sổ có dạng hình phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (Hình 2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ, phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Đề bài

Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức 2

Giải theo 5 bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lời giải chi tiết

Gọi x là chiều rộng của hình chữ nhật, y là chiều dài của hình chữ nhật (\(0 \le x,y \le 10\), mét)

Khi đó, bán kính hình tròn là \(\frac{x}{2}\) Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn: \(\frac{{\pi x}}{2}\)

Độ dài mép ngoài cửa sổ là: \(x + 2y + \frac{{\pi x}}{2} = 10 \Rightarrow y = \frac{{20 - \pi x - 2x}}{4}\)

Diện tích cửa sổ là: \(S(x) = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + x.\frac{{20 - \pi x - 2x}}{4} = \frac{{ - \pi - 4}}{8}{x^2} + 5x\)

\(\begin{array}{l}S'(x) = \frac{{ - \pi - 4}}{4}x + 5\\S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{20}}{{\pi + 4}}\end{array}\)

Ta có: \(S(0) = 0;S\left( {\frac{{20}}{{\pi + 4}}} \right) \approx 7;S(10) = - 12,5\pi \)

Vậy \({x_{{\rm{max}}}} = \frac{{20}}{{\pi + 4}} \approx 2,8(m),y \approx 1,4(m)\).

Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu

Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài toán điển hình về việc ứng dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các bước sau:

Xác định tập xác định của hàm số: Tìm khoảng mà hàm số có nghĩa.
Tính đạo hàm bậc nhất: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tìm f'(x).
Tìm điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định bởi các điểm dừng để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
Kết luận về cực trị: Dựa vào bảng biến thiên để xác định các điểm cực đại, cực tiểu và giá trị tương ứng.

Phân tích bài toán cụ thể (Ví dụ minh họa - Giả sử bài toán là tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2):

Bước 1: Tập xác định: Hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2 có tập xác định là R (tập số thực).

Bước 2: Đạo hàm bậc nhất: y' = 3x^2 - 6x

Bước 3: Tìm điểm dừng: Giải phương trình 3x^2 - 6x = 0, ta được x = 0 hoặc x = 2.

Bước 4: Lập bảng biến thiên:

x	-∞	0	2	+∞
y'	+	-	+
y	↗	↘	↗

Bước 5: Kết luận:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2; +∞).
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại là y = 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu là y = -2.

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập về đạo hàm và cực trị:

Luôn kiểm tra tập xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
Sử dụng đúng các quy tắc đạo hàm để tránh sai sót.
Lập bảng biến thiên một cách cẩn thận để xác định chính xác khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số (nếu có thể).

Tusach.vn hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em học sinh sẽ tự tin giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức và các bài tập tương tự. Chúc các em học tốt!

Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài giải khác tại chuyên mục Giải Toán 12 Kết nối tri thức của tusach.vn.

Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 2.6 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu

Phân tích bài toán cụ thể (Ví dụ minh họa - Giả sử bài toán là tìm cực trị của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 2):

Lưu ý quan trọng khi giải bài tập về đạo hàm và cực trị:

CHỦ ĐỀ SÁCH XEM NHIỀU

VỀ TUSACH.VN