Bài 2. Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và áp dụng

Bài 2: Biến Ngẫu Nhiên Có Phân Bố Nhị Thức và Ứng Dụng

Trong thống kê, phân bố nhị thức là một trong những phân bố xác suất rời rạc cơ bản và quan trọng nhất. Nó mô tả số lần thành công trong một chuỗi các thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công hoặc thất bại.

1. Định Nghĩa và Các Thuộc Tính

Một biến ngẫu nhiên X được cho là tuân theo phân bố nhị thức nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

• Có một số lượng cố định n các thử nghiệm độc lập.
• Mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra: thành công và thất bại.
• Xác suất thành công p là như nhau cho mỗi thử nghiệm.

Biến ngẫu nhiên X, đại diện cho số lần thành công trong n thử nghiệm, được ký hiệu là X ~ B(n, p). Hàm khối xác suất của phân bố nhị thức được tính như sau:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}, với k = 0, 1, 2, ..., n

Trong đó:

• C_n^k là tổ hợp chập k của n.
• p là xác suất thành công trong một thử nghiệm.
• (1 - p) là xác suất thất bại trong một thử nghiệm.

Các thuộc tính quan trọng của phân bố nhị thức:

• Giá trị kỳ vọng (E[X]): E[X] = np
• Phương sai (Var[X]): Var[X] = np(1 - p)
• Độ lệch chuẩn (SD[X]): SD[X] = √(np(1 - p))

2. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Một đồng xu được tung 10 lần. Giả sử đồng xu là công bằng (xác suất mặt ngửa là 0.5). Tính xác suất để được đúng 6 mặt ngửa.

Giải:

X ~ B(10, 0.5)

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.5)⁶ * (0.5)⁴ = 210 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.2051

Ví dụ 2: Một nhà máy sản xuất bóng đèn. Xác suất một bóng đèn bị lỗi là 0.02. Lấy ngẫu nhiên 100 bóng đèn. Tính xác suất có đúng 2 bóng đèn bị lỗi.

Giải:

X ~ B(100, 0.02)

P(X = 2) = C₁₀₀² * (0.02)² * (0.98)⁹⁸ ≈ 0.2734

3. Ứng Dụng của Phân Bố Nhị Thức

Phân bố nhị thức có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Kiểm tra chất lượng: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu thị trường: Dự đoán số lượng người tiêu dùng sẽ mua một sản phẩm mới.
• Y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Sinh học: Nghiên cứu di truyền học.
• Khoa học chính trị: Dự đoán kết quả bầu cử.

4. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Một hộp chứa 20 bóng đèn, trong đó có 5 bóng đèn bị hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng đèn từ hộp. Tính xác suất để có đúng 1 bóng đèn bị hỏng.

Bài 2: Một cuộc khảo sát được thực hiện trên 500 người. Có 60% số người được khảo sát ủng hộ một chính sách mới. Tính xác suất để có từ 280 đến 320 người ủng hộ chính sách này (sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn).

5. Kết Luận

Phân bố nhị thức là một công cụ mạnh mẽ để mô hình hóa và phân tích các hiện tượng liên quan đến số lần thành công trong một chuỗi các thử nghiệm độc lập. Việc hiểu rõ các khái niệm và ứng dụng của phân bố này là rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.