Bài 4. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Trong chương trình Toán học lớp 12, việc vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu là một kỹ năng quan trọng. Bài học này sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp và áp dụng thành thạo vào thực tế.

1. Giới thiệu chung về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu thường gặp trong nhiều lĩnh vực của đời sống và khoa học kỹ thuật. Mục tiêu của bài toán tối ưu là tìm ra giá trị lớn nhất (cực đại) hoặc giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một hàm số nào đó trên một khoảng xác định. Ví dụ, tìm kích thước tối ưu của một hình hộp chữ nhật để chứa được thể tích lớn nhất với một diện tích bề mặt cho trước.

2. Các bước giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm

1. Bước 1: Xác định hàm số cần tối ưu. Hàm số này thường biểu diễn đại lượng cần tìm (ví dụ: diện tích, thể tích, chi phí).
2. Bước 2: Xác định miền xác định của hàm số. Miền xác định thường bị giới hạn bởi các điều kiện thực tế của bài toán.
3. Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số.
4. Bước 4: Tìm các điểm dừng của hàm số (các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định).
5. Bước 5: Xét dấu đạo hàm để xác định các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).
6. Bước 6: So sánh giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và các điểm biên của miền xác định để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người đó cần dùng bao nhiêu mét lưới để rào mảnh đất với chi phí thấp nhất?

Giải:

• Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất là x và y.
• Diện tích mảnh đất: xy = 100 => y = 100/x
• Chu vi mảnh đất (chi phí rào): P = 2(x + y) = 2(x + 100/x)
• Đạo hàm: P' = 2(1 - 100/x²)
• Giải P' = 0 => x = 10
• y = 100/10 = 10
• Vậy mảnh đất là hình vuông có cạnh 10m. Chu vi tối thiểu là P = 2(10 + 10) = 40m

4. Các dạng bài toán tối ưu thường gặp

• Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Bài toán tối ưu hóa hình học (tìm kích thước tối ưu của các hình).
• Bài toán tối ưu hóa kinh tế (tìm lợi nhuận tối đa, chi phí tối thiểu).

5. Lưu ý khi giải bài toán tối ưu

• Luôn kiểm tra miền xác định của hàm số.
• Chú ý xét dấu đạo hàm để xác định đúng các điểm cực trị.
• So sánh giá trị của hàm số tại tất cả các điểm cực trị và các điểm biên của miền xác định.

6. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5.
• Bài 2: Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ có thể tích 1000cm³. Hỏi công ty cần chọn kích thước như thế nào để tiết kiệm vật liệu nhất?

Tusach.vn hy vọng bài học này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu. Chúc bạn học tập tốt!