Bài 1. Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Bài 1: Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc và Các Số Đặc Trưng

Trong lý thuyết xác suất, biến ngẫu nhiên là một biến có giá trị là kết quả số của một hiện tượng ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên có thể là rời rạc hoặc liên tục. Bài viết này tập trung vào biến ngẫu nhiên rời rạc.

1. Định Nghĩa Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc là một biến có thể nhận một số hữu hạn các giá trị hoặc một số vô hạn các giá trị đếm được. Ví dụ:

• Số lần tung đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt ngửa.
• Số lượng sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Số lượng khách hàng đến cửa hàng trong một giờ.

2. Hàm Phân Phối Xác Suất (PMF)

Hàm phân phối xác suất (Probability Mass Function - PMF) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ký hiệu là P(X = x), cho biết xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị x. PMF phải thỏa mãn hai điều kiện:

1. 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 với mọi x.
2. ∑ P(X = x) = 1 (tổng xác suất của tất cả các giá trị x phải bằng 1).

3. Các Số Đặc Trưng của Biến Ngẫu Nhiên Rời Rạc

Các số đặc trưng giúp mô tả và so sánh các biến ngẫu nhiên. Các số đặc trưng quan trọng nhất bao gồm:

3.1. Kỳ Vọng (Expected Value)

Kỳ vọng, ký hiệu là E(X), là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X. Công thức tính kỳ vọng:

E(X) = ∑ x * P(X = x)

Ví dụ: Nếu X là số chấm trên một mặt xúc xắc công bằng, thì E(X) = (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5

3.2. Phương Sai (Variance)

Phương sai, ký hiệu là Var(X), đo lường mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên X xung quanh kỳ vọng. Công thức tính phương sai:

Var(X) = E[(X - E(X))²] = ∑ (x - E(X))² * P(X = x)

Ví dụ: Sử dụng kết quả từ ví dụ về xúc xắc, Var(X) = 2.9167

3.3. Độ Lệch Chuẩn (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn, ký hiệu là σ(X), là căn bậc hai của phương sai. Độ lệch chuẩn cho biết mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên X theo đơn vị của X. Công thức tính độ lệch chuẩn:

σ(X) = √Var(X)

Ví dụ: Sử dụng kết quả từ ví dụ về xúc xắc, σ(X) = √2.9167 ≈ 1.7078

4. Ví Dụ Minh Họa

Giả sử X là số lượng mặt ngửa khi tung hai đồng xu công bằng. Các giá trị có thể của X là 0, 1, và 2. PMF của X là:

Kỳ vọng của X là E(X) = (0*1/4) + (1*1/2) + (2*1/4) = 1. Phương sai của X là Var(X) = 0.5, và độ lệch chuẩn của X là σ(X) = √0.5 ≈ 0.7071.

5. Ứng Dụng

Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Thống kê học: Phân tích dữ liệu, kiểm định giả thuyết.
• Kinh tế học: Mô hình hóa rủi ro, dự báo.
• Bảo hiểm: Tính toán phí bảo hiểm, đánh giá rủi ro.
• Khoa học máy tính: Thuật toán học máy, xử lý ảnh.

Hiểu rõ về biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng của chúng là nền tảng quan trọng để học tập và nghiên cứu trong các lĩnh vực liên quan đến xác suất và thống kê.