Logo

Giải bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Tổng quan nội dung

Giải bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 thuộc chương trình Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.

Tusach.vn cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.

Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được. a) Lập bảng phân bố xác suất của X. b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

Đề bài

Có ba chiếc túi I, II và III. Túi I có chứa 5 viên bị trắng và 5 viên bị đen cùng kích thước, khối lượng. Túi II và III mỗi túi có chứa 2 viên bị trắng và 8 viên bị đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên từ mỗi túi một viên bi. Gọi X là số viên bị trắng lấy được.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Chứng minh rằng X không phải là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

Lời giải chi tiết

a) X là số viên bị trắng lấy được. Các giá trị có thể có của X là {0, 1, 2, 3}

Xác suất để lấy được 1 bi trắng ở các túi I, II, III lần lượt là 0,5; 0,2; 0,2.

- Biến cố {X = 0} là biến cố không có bi trắng lấy được từ một trong ba túi

\(P(X = 0) = 0,5.0.8.0,8 = 0,32\)

- Biến cố {X = 1} là biến cố có bi trắng lấy được từ một trong ba túi

\(P(X = 1) = 0,5.0,8.0,8 + 0,5.0,2.0,8 + 0,5.0,8.0,2 = 0,48\)

- Biến cố {X = 2} là biến cố có bi trắng lấy được từ hai trong ba túi

\(P(X = 2) = 0,5.0,2.0,8 + 0,5.0,8.0,2 + 0,5.0,2.0,2 = 0,18\)

- Biến cố {X = 3} là biến cố có bi trắng lấy được từ cả ba túi

\(P(X = 3) = 0,5.0,2.0,2 = 0,02\)

Ta có bảng phân bố xác suất:

Giải bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức 1

b) Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Khi đó, \(X \sim B(3,p)\)

\(\begin{array}{l}P(X = 3) = C_3^3.{p^3} = {p^3} = 0,02 \Rightarrow p \approx 0,27\\P(X = 0) = C_3^0.{\left( {1 - p} \right)^3} = {0,73^3} = 0,389 \ne 0,32\end{array}\)

Vậy X không là biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức.

Giải bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Chi tiết và Dễ hiểu

Bài 1.14 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Bài toán thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.

Nội dung bài toán (Ví dụ):

Một công ty sản xuất hộp đựng quà hình trụ không nắp. Biết rằng thể tích của hộp là V (cm3). Hãy tìm kích thước của hộp (bán kính đáy r và chiều cao h) sao cho diện tích bề mặt của hộp là nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

  1. Bước 1: Thiết lập hàm số

    2. Gọi r là bán kính đáy và h là chiều cao của hộp. Ta có:

    • Thể tích hộp: V = πr2h
    • Diện tích bề mặt hộp: S = πr2 + 2πrh

    Từ V = πr2h, ta suy ra h = V/(πr2). Thay vào công thức tính diện tích bề mặt, ta được hàm số S theo r:

    S(r) = πr2 + 2πr(V/(πr2)) = πr2 + 2V/r

  2. Bước 2: Tìm tập xác định của hàm số

    3. Vì r là bán kính đáy nên r > 0.

  3. Bước 3: Tính đạo hàm cấp một và tìm điểm cực trị

    4. S'(r) = 2πr - 2V/r2

    Giải phương trình S'(r) = 0, ta tìm được r = (V/π)1/3

  4. Bước 4: Xét dấu đạo hàm cấp một để xác định tính đơn điệu của hàm số

    5. Với r < (V/π)1/3, S'(r) < 0 (hàm số nghịch biến)

    Với r > (V/π)1/3, S'(r) > 0 (hàm số đồng biến)

    Vậy, hàm số S(r) đạt giá trị nhỏ nhất tại r = (V/π)1/3

  5. Bước 5: Tính chiều cao h tương ứng

    6. h = V/(πr2) = V/(π((V/π)1/3)2) = (V/π)1/3

  6. Bước 6: Kết luận

    7. Kích thước của hộp để diện tích bề mặt nhỏ nhất là r = h = (V/π)1/3

Lưu ý quan trọng:

  • Luôn kiểm tra điều kiện của bài toán để đảm bảo nghiệm tìm được hợp lý.
  • Nắm vững các công thức tính diện tích, thể tích của các hình khối.
  • Rèn luyện kỹ năng tính đạo hàm và giải phương trình.

Các bài tập tương tự:

Các bài tập tương tự thường yêu cầu tối ưu hóa các đại lượng khác nhau, ví dụ như chi phí sản xuất, lợi nhuận, hoặc diện tích. Việc áp dụng phương pháp giải tương tự sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.

Tusach.vn - Nguồn tài liệu học tập Toán 12 uy tín

Tusach.vn cung cấp đầy đủ các tài liệu học tập Toán 12, bao gồm:

  • Giải bài tập sách giáo khoa
  • Giải bài tập chuyên đề
  • Đề thi thử
  • Bài giảng video

Hãy truy cập Tusach.vn để học tập và ôn luyện Toán 12 hiệu quả!