Giải bài 4 trang 28 Chuyên đề học tập Toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Một cơ sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sả phẩm là bàn, ghế và tủ. Định mức sử dụng lao động, chi phí sản suất và giá bán mỗi sản phẩm mỗi loại ước tính trong Bảng 4:

Biết rằng cơ sở sản xuất đó sử dụng không quá 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất không quá 40 triệu đồng và số ghế gấp sáu lần số bàn. Tính số sản phẩm mỗi loại cần phải sản xuất sao cho tổng doanh thu đạt được cao nhất.

Lời giải chi tiết

Đổi 40 triệu đồng= 40 000 nghìn đồng.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số chiếc bàn và số chiếc tủ cần sản cuất \((x \in N;y \in N)\)

Số chiếc ghế cần sản xuất là \(6x\) (chiếc)

Tổng doanh thu đạt được là \(T = 260x + 120.6x + 600y = 980x + 600y\) (nghìn đồng).

Số công lao động cần dùng là \(2x + 1.6x + 3y = 8x + 3y\) (ngày công)

Vì công lao động không vượt quá 500 ngày công nên ta có: \(8x + 3y \le 500.\)

Chi phí sản xuất các sản phẩm là \(100x + 40.6x + 250y = 340x + 250y\) (nghìn đồng)

Vì chi phí sản xuất không vượt quá 40 triệu đồng=40 000 nghìn đồng nên ta có \(340x + 250y \le 40000\) hay \(34x + 25y \le 4000\)

Vì cần thu được tổng doanh thu lớn nhất nên ta có bài toán quy hoạch tuyến tính: \(\left\{ \begin{array}{l}\max (T = 980x + 600y)\\8x + 3y \le 500\\34x + 25y \le 4000\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (\(x,y\) là các số thực):

\(\left\{ \begin{array}{l}8x + 3y \le 500\\34x + 25y \le 4000\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (II)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 980x + 600y\) khi \((x,y)\) thoả mãn hệ bất phương trình (II)

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (II)

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh \(O(0;0);A(0;160);\) \(B\left( {\frac{{250}}{{49}};\frac{{7500}}{{49}}} \right);C(62,5;0)\).

Bước 2. Tính giá trị biểu thức \(T(x,y) = 980x + 600y\) tại các đỉnh của tứ giác OABC: \(T(0;0) = 0;T(0;160) = 96000;T\left( {\frac{{250}}{{49}};\frac{{7500}}{{49}}} \right) = \frac{{4745000}}{{49}};\) \(T(62,5;0) = 61250.\)

Bước 3. Ta đã biết biểu thức \(T = 980x + 600y\) đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực \((x,y)\) là toạ độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của \(T\) ở bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \(T(0;160) = 96000.\)

Bước 4. Vì 0 và 160 là các số tự nhiên nên cặp số \((0;160)\) là nghiệm của bài toán (I).

Vậy chỉ cần sản xuất 160 chiếc tủ để tổng doanh thu đạt được là cao nhất.