Bài 2. Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

Bài 2: Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức

Chào mừng đến với bài học về Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức – hai khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong lĩnh vực thống kê và lý thuyết xác suất. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về hai phân bố này, bao gồm định nghĩa, công thức, tính chất, ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế.

1. Phân bố Bernoulli

1.1 Định nghĩa: Phân bố Bernoulli mô tả xác suất thành công hoặc thất bại của một sự kiện duy nhất. Nó là một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận hai giá trị: 1 (thành công) và 0 (thất bại).

1.2 Công thức:

• P(X = 1) = p (xác suất thành công)
• P(X = 0) = 1 - p (xác suất thất bại)

Trong đó, 'p' là xác suất thành công, và '1-p' là xác suất thất bại. Tổng của hai xác suất này luôn bằng 1.

1.3 Ví dụ: Tung một đồng xu. Nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa, ta coi đó là thành công (X = 1) với xác suất p = 0.5. Nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp, ta coi đó là thất bại (X = 0) với xác suất 1 - p = 0.5.

2. Phân bố Nhị thức

2.1 Định nghĩa: Phân bố Nhị thức mô tả số lần thành công trong một chuỗi 'n' thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công 'p' không đổi.

2.2 Công thức:

P(X = k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}

Trong đó:

• P(X = k) là xác suất có đúng 'k' lần thành công trong 'n' thử nghiệm.
• C_n^k là tổ hợp chập 'k' của 'n' (n! / (k! * (n - k)!)).
• p là xác suất thành công trong mỗi thử nghiệm.
• n là số lượng thử nghiệm.

2.3 Ví dụ: Tung một đồng xu 10 lần. Xác suất để được 6 mặt ngửa (6 lần thành công) là:

P(X = 6) = C₁₀⁶ * (0.5)⁶ * (0.5)⁴ = 210 * (0.5)¹⁰ ≈ 0.205

3. Mối quan hệ giữa Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức

Phân bố Nhị thức có thể được xem là tổng của 'n' biến ngẫu nhiên Bernoulli độc lập, mỗi biến có xác suất thành công 'p'. Nói cách khác, mỗi lần thử nghiệm trong phân bố Nhị thức là một biến ngẫu nhiên Bernoulli.

4. Ứng dụng thực tế

• Kiểm định chất lượng: Xác định tỷ lệ sản phẩm lỗi trong một lô hàng.
• Nghiên cứu thị trường: Dự đoán tỷ lệ khách hàng tiềm năng sẽ mua một sản phẩm.
• Y học: Đánh giá hiệu quả của một loại thuốc.
• Khoa học máy tính: Mô hình hóa các thuật toán học máy.

5. Bảng tóm tắt

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một sự hiểu biết vững chắc về Phân bố Bernoulli và Phân bố Nhị thức. Hãy luyện tập thêm với các bài tập để củng cố kiến thức và áp dụng chúng vào các tình huống thực tế.