Bài 2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Chào mừng các bạn đến với Bài 2 của chuyên mục vận dụng đạo hàm trong thực tiễn trên tusach.vn. Trong bài học này, chúng ta sẽ đi sâu vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa, một kỹ năng vô cùng quan trọng trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, kỹ thuật, và khoa học.

1. Giới thiệu về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu là bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số nào đó, với các ràng buộc nhất định. Trong thực tế, các bài toán tối ưu xuất hiện rất nhiều, ví dụ như:

• Tìm kích thước tối ưu của một hộp để chứa được nhiều hàng hóa nhất với một lượng vật liệu cho trước.
• Tìm giá thành sản xuất thấp nhất để đạt được lợi nhuận tối đa.
• Tìm quỹ đạo bay tối ưu của một tên lửa để tiết kiệm nhiên liệu.

2. Các bước giải bài toán tối ưu bằng đạo hàm

Để giải quyết một bài toán tối ưu bằng đạo hàm, chúng ta thường thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số mục tiêu: Đây là hàm số mà chúng ta muốn tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Xác định miền xác định của hàm số: Đây là tập hợp các giá trị của biến số mà hàm số có nghĩa.
3. Tìm đạo hàm của hàm số: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số mục tiêu.
4. Tìm các điểm dừng: Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm dừng của hàm số.
5. Xác định loại điểm dừng: Sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định xem các điểm dừng là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm uốn.
6. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên của miền xác định: So sánh các giá trị này để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một người nông dân muốn rào một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 100m². Hỏi người nông dân cần sử dụng bao nhiêu mét hàng rào để rào khu vườn với chi phí thấp nhất?

Giải:

• Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y.
• Diện tích khu vườn là xy = 100.
• Chu vi khu vườn là P = 2(x + y).
• Từ xy = 100, ta có y = 100/x.
• Thay y = 100/x vào P, ta được P(x) = 2(x + 100/x).
• Tính đạo hàm P'(x) = 2(1 - 100/x²).
• Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10.
• Tính đạo hàm cấp hai P''(x) = 2(200/x³).
• Vì P''(10) > 0, nên x = 10 là điểm cực tiểu.
• Khi x = 10, y = 100/10 = 10.
• Vậy chu vi nhỏ nhất là P = 2(10 + 10) = 40m.

4. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các bạn hãy tự giải các bài tập sau:

• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].
• Một công ty sản xuất hộp thiếc hình trụ có thể tích 1000cm³. Hỏi công ty cần thiết kế hộp thiếc với kích thước như thế nào để sử dụng ít vật liệu nhất?

5. Kết luận

Bài 2 đã cung cấp cho các bạn những kiến thức cơ bản về việc vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu trong thực tiễn. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, các bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự trong học tập và công việc. Hãy tiếp tục luyện tập và khám phá thêm nhiều ứng dụng thú vị của đạo hàm trên tusach.vn!