Đề bài
Người ta cần sơn hai loại sản phẩm A, B bằng hai loại sơn: sơn xanh, sơn vàng. Lượng sơn để sơn mỗi loại sản phẩm đó được cho ở Bảng 3 (đơn vị: kg/1 sản phẩm).
Người ta dự định sử dụng không quán 12 kg sơn xanh và không quá 8 kg sơn vàng để sơn tất cả các sản phẩm của hai loại đó. Mỗi sản phẩm loại A lãi 10 triệu đồng và mỗi sản phẩm loại B lãi 8 triệu đồng. Tính khối lượng sản phẩm từng loại cần sơn sao cho số tiền lãi thu được là lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đưa bài toán về bài toán quy hoạch tuyến tính sau đó giải bài toán quy hoạch tuyến tính theo các bước sau:
Bước 1: Xác định miền nghiệm \((S)\) của hệ bất phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y \le {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y \le {c_2}\\...\\{a_k}x + {b_k}y \le {c_k}\end{array} \right.\)
Bước 2: Trong tất cả các điểm thuộc \((S)\) tìm điểm \((x,y)\) sao cho biểu thức \(T(x,y)\) có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Bước 3: Kết luận.
Lời giải chi tiết
Gọi \(x,y\) lần lượt là số sản phẩm loại A và loại B người đó cần sơn \((x \in N;y \in N)\)
Số tiền lãi người đó thu được là \(T = 10x + 8y\) (triệu đồng)
Vì người đó sử dụng không quá 12 kg sơn xanh nên ta có \(6x + 2y \le 12;\)
Vì người đó sử dụng không quá 8 kg sơn vàng nên ta có \(2x + 2y \le 8;\)
Do người đó muốn số tiền lãi thu được là lớn nhất nên ta có bài toán quy hoạch tuyến tính \(\left\{ \begin{array}{l}\max (T = 10x + 8y)\\6x + 2y \le 12\\2x + 2y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (I)
Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (\(x,y\) là số thực) sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}6x + 2y \le 12\\2x + 2y \le 8\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\) (II)
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T = 10x + 8y\) khi \((x,y)\) thoả mãn bất phương trình (II)
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (II)
Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh \(O(0;0);\) \(A(0;4);\) \(B(1;3)\); \(C(2;0).\)
Bước 2. Tính giá trị biểu thức \(T(x,y) = 10x + 8y\) tại các đỉnh của tứ giác này: \(T(0;0) = 0;\) \(T(0;4) = 32;\) \(T(1;3) = 34;\) \(T(2;0) = 20.\)
Bước 3. Ta đã biết biểu thức \(T = 10x + 8y\) đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực \((x,y)\) là toạ độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của \(T\) ở bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \(T(1;3) = 34.\)
Bước 4. Vì 1 và 3 đều là các số tự nhiên nên cặp số \((1;3)\) là nghiệm của bài toán (I).
Vậy để số tiền lãi thu được là lớn nhất thì cần sơn 1 sản phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B.
