Bài 2. Phép Đồng Dạng

Bài 2. Phép Đồng Dạng: Giải Mã Bí Mật Của Sự Tương Đồng Hình Học

Phép đồng dạng là một trong những phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu và phân tích các hình tương đồng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép đồng dạng, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tế, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập liên quan.

1. Định Nghĩa Phép Đồng Dạng

Phép đồng dạng là một phép biến hình bảo toàn hình dạng của một hình, nhưng có thể thay đổi kích thước của nó. Nói cách khác, nếu một hình H' là ảnh của hình H qua phép đồng dạng, thì H' đồng dạng với H. Điều này có nghĩa là H' có cùng hình dạng với H, nhưng có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn.

2. Các Tính Chất Của Phép Đồng Dạng

Bảo toàn tính thẳng hàng: Ba điểm thẳng hàng luôn biến thành ba điểm thẳng hàng qua phép đồng dạng.
Bảo toàn tỉ số: Tỉ số giữa hai đoạn thẳng trên hình H bằng tỉ số giữa hai đoạn thẳng tương ứng trên hình H'.
Bảo toàn góc: Góc giữa hai đường thẳng trên hình H bằng góc giữa hai đường thẳng tương ứng trên hình H'.

3. Tâm Đồng Dạng và Tỉ Số Đồng Dạng

Mỗi phép đồng dạng được xác định bởi một tâm đồng dạng O và một tỉ số đồng dạng k. Tâm đồng dạng là một điểm cố định, không thay đổi vị trí qua phép đồng dạng. Tỉ số đồng dạng k là một số thực dương, cho biết mức độ thay đổi kích thước của hình.

Nếu k > 1, hình H' lớn hơn hình H (phép đồng dạng tăng). Nếu 0 < k < 1, hình H' nhỏ hơn hình H (phép đồng dạng giảm).

4. Các Loại Phép Đồng Dạng

Phép vị tự: Là một phép đồng dạng đặc biệt, trong đó tâm đồng dạng là một điểm cố định và tỉ số đồng dạng là một số thực khác 0.
Phép chiếu xuyên tâm: Là một phép đồng dạng, trong đó tâm đồng dạng là một điểm cố định và tỉ số đồng dạng là một số thực dương.

5. Ứng Dụng Của Phép Đồng Dạng

Phép đồng dạng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

Bản đồ: Việc tạo bản đồ đòi hỏi phải bảo toàn hình dạng của các đối tượng địa lý, và phép đồng dạng là một công cụ hữu ích để thực hiện điều này.
Thiết kế: Trong thiết kế, phép đồng dạng được sử dụng để tạo ra các phiên bản khác nhau của một đối tượng với các kích thước khác nhau.
Nghệ thuật: Các nghệ sĩ sử dụng phép đồng dạng để tạo ra các tác phẩm nghệ thuật có tính thẩm mỹ cao.

6. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đồng dạng với nhau theo tỉ số k = 2. Biết AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 9cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Giải: Vì tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = 2, ta có:

A'B' = k * AB = 2 * 5cm = 10cm
B'C' = k * BC = 2 * 7cm = 14cm
C'A' = k * CA = 2 * 9cm = 18cm

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Thực hiện phép vị tự tâm O (trùng với giao điểm hai đường chéo) với tỉ số k = 0.5. Tính diện tích hình vuông A'B'C'D'.

Giải: Diện tích hình vuông ABCD là 4cm * 4cm = 16cm². Vì phép vị tự có tỉ số k = 0.5, diện tích hình vuông A'B'C'D' là (0.5)² * 16cm² = 4cm².

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về phép đồng dạng. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các vấn đề liên quan.