Chuyên đề II. Làm quen với một vài yếu tố của lí thuyết đồ thị

Lí thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu về các đồ thị, bao gồm các đỉnh (vertices) và các cạnh (edges) kết nối các đỉnh này. Nó là một công cụ mạnh mẽ để mô hình hóa các mối quan hệ giữa các đối tượng và giải quyết nhiều bài toán khác nhau.

1. Định nghĩa cơ bản về đồ thị

Một đồ thị (graph) G = (V, E) bao gồm:

• V (Vertices): Tập hợp các đỉnh.
• E (Edges): Tập hợp các cạnh, mỗi cạnh nối hai đỉnh.

Có hai loại đồ thị chính:

• Đồ thị vô hướng (Undirected Graph): Các cạnh không có hướng, tức là cạnh (u, v) tương đương với cạnh (v, u).
• Đồ thị có hướng (Directed Graph): Các cạnh có hướng, tức là cạnh (u, v) khác với cạnh (v, u).

2. Các khái niệm liên quan đến đỉnh và cạnh

Một số khái niệm quan trọng liên quan đến đỉnh và cạnh:

• Bậc của đỉnh (Degree of a Vertex): Số lượng cạnh kết nối với một đỉnh. Trong đồ thị vô hướng, bậc của đỉnh là số cạnh kề với nó. Trong đồ thị có hướng, có bậc vào (in-degree) và bậc ra (out-degree).
• Cạnh kề (Adjacent Edges): Hai cạnh được gọi là kề nếu chúng có chung một đỉnh.
• Đỉnh kề (Adjacent Vertices): Hai đỉnh được gọi là kề nếu có một cạnh nối chúng.
• Đường đi (Path): Một chuỗi các đỉnh liên tiếp được nối với nhau bởi các cạnh.
• Chu trình (Cycle): Một đường đi bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh.

3. Biểu diễn đồ thị

Có hai cách phổ biến để biểu diễn đồ thị trong máy tính:

• Ma trận kề (Adjacency Matrix): Một ma trận vuông kích thước n x n, trong đó n là số lượng đỉnh. Phần tử a_ij bằng 1 nếu có cạnh giữa đỉnh i và đỉnh j, và bằng 0 nếu không.
• Danh sách kề (Adjacency List): Mỗi đỉnh được liên kết với một danh sách các đỉnh kề với nó.

Dưới đây là một ví dụ về biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề:

Và đây là ví dụ về biểu diễn đồ thị bằng danh sách kề:

• 0: [1]
• 1: [0, 2, 3]
• 2: [1]
• 3: [1]

4. Ứng dụng của lí thuyết đồ thị

Lí thuyết đồ thị có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:

• Mạng xã hội: Mô hình hóa các mối quan hệ giữa người dùng.
• Mạng lưới giao thông: Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai địa điểm.
• Mạng máy tính: Thiết kế và quản lý mạng.
• Phân tích dữ liệu: Tìm các mẫu và mối quan hệ trong dữ liệu.

Chuyên đề này chỉ là bước đầu tiên trong hành trình khám phá lí thuyết đồ thị. Hãy tiếp tục học hỏi và thực hành để nắm vững kiến thức này và áp dụng nó vào giải quyết các bài toán thực tế.

Chúc bạn học tập tốt!