Đề thi học kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 5

a) Đạo hàm của hàm số \(s(t)\) tại thời điểm \({t_0}\) là: \(2{t_0} - 2\)

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5\) là \(8\,(m/s)\)

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 10\)là \(16(m/s)\)

d) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) tới \(t = 3s\)là 5 (m/s)

a) Không tồn tại phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của \((C)\) với trục Ox

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của \((C)\) với trục Oy là\(y = x + 1\)

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) là: \(y = - 3x + \frac{7}{3}\)

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến \(k = 3\) là \(y = - 3x - 3\)

a) \(A'H \bot AC\)

b) A’H không vuông góc (BB’C’C)

c) \(\left( {A'C,(ABCD)} \right) = \widehat {A'CH}\)

d) Thể tích khối lăng trụ bằng \(4{a^3}\sqrt 5 \)

a) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là 0,56

b) Xác suất để cả hai hai động cơ đều chạy không tốt là 0,06

c) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là 0,06

d) Xác suất để chỉ có 1 động cơ chạy tốt 0,3

Sử dụng công thức tính lũy thừa

\({\left( {ab} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\)

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)

Đáp án A.

Sử dụng công thức logarit

\[P = {\log _a}\left( {b{c^2}} \right) = {\log _a}b + {\log _a}{c^2} = {\log _a}b + 2{\log _a}c = 3 + 2.2 = 7\]

Đáp án A.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left[ {\ln \left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} \right]' = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)'}}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}\\f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow \frac{{2x - 2}}{{{x^2} - 2x + 4}} > 0 \Leftrightarrow 2x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 1\end{array}\]

Đáp án C.

Sử dụng công thức cộng xác suất

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\)

Đáp án A.

Sử dụng quy tắc xác suất.

Biến cố \(A \cap B\) là: "Gieo được mặt xuất hiện số lẻ và sơn đỏ" \( \Rightarrow n\left( {A \cap B} \right) = 2\).

Vậy xác suất cần tính là \(P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

Đạo hàm của hàm số\(y = f(x)\) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm \({M_0}({x_0};f({x_0}))\)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ là: \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\)

Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\left( {2;f\left( 2 \right)} \right)\)là \(f'(2) = 6.\)

Đáp án C.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

\[\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} \right]' = 3(x + 1)'{\left( {x + 1} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\\f''\left( x \right) = \left[ {3{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]' = 6(x + 1)'\left( {x + 1} \right) = 6\left( {x + 1} \right)\\f''(1) = 12\end{array}\]

Đáp án A.

Sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

a)\(\left\{ \begin{array}{l}BC//AD\\BC \not\subset (SAD),AD \subset (SAD)\end{array} \right. \Rightarrow BC//(SAD)\)

b)\[\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AD\\AB \bot SA\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SAD)\]

Đáp án B.

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Do \(SA \bot (ABCD)\)

Nên AB là hình chiếu của SA lên mp(ABCD)

Ta có: \(\left( {SB,(ABCD)} \right) = \left( {SB,AB} \right)\)

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\\\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = {45^0}\end{array}\)

Đáp án A.

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

\(Do\,\,SA \bot (ABCD) \Rightarrow d(S,(ABCD)) = SA\)

Tam giác SAB vuông tại A nên \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a\)

Đáp án A.

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AD\\DC \bot SA\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot (SAD) \Rightarrow DC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot DC\\SD,DC \subset (SDC)\\SD \cap DC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot (SDC) \Rightarrow d(A,(SCD)) = AK\end{array}\]

Đáp án A.

Sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DC \bot AD\\DC \bot SA\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot (SAD) \Rightarrow DC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot DC\\SD,DC \subset (SDC)\\SD \cap DC\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot (SDC)\end{array}\]

Đáp án B.

a) Đạo hàm của hàm số \(s(t)\) tại thời điểm \({t_0}\) là: \(2{t_0} - 2\)

b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5\) là \(8\,(m/s)\)

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 10\)là \(16(m/s)\)

d) Vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) tới \(t = 3s\)là 5 (m/s)

Phương trình vận tốc của chất điểm: \(v(t) = s'(t)\)

Phương trình gia tốc của chất điểm: \(a(t) = v'(t)\)

a) Đạo hàm của hàm số \(s(t)\)tại thời điểm \({t_0}\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}f'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f(t) - f({t_0})}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{{t^2} - 2t - ({t_0}^2 - 2{t_0})}}{{t - {t_0}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{(t - {t_0})(t + {t_0} - 2)}}{{t - {t_0}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {t + {t_0} - 2} \right) = 2{t_0} - 2\end{array}\)

b) Phương trình vận tốc của chất điểm là: \(v(t) = s' = s'(t) = 2t - 2\)

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: \(v(5) = 2.5 - 2 = 8(m.s)\)

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 10\)là \(v(10) = 2.10 - 2 = 18\,(m/s)\)

d) Trong khoảng thời gian từ \(t = 0\) tới \(t = 3s\)thì chất điểm di chuyển được quãng đường: \({3^2} - 2.3 = 3(m)\)

Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 3s kể từ thời điểm \(t = 0\) là:

\(\overline v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{3 - 0}}{{3 - 0}} = 1(m/s)\)

a) Không tồn tại phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của \((C)\) với trục Ox

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của \((C)\) với trục Oy là\(y = x + 1\)

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của \((C)\) tại giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) là: \(y = - 3x + \frac{7}{3}\)

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến \(k = 3\) là \(y = - 3x - 3\)

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3:Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

a) Vì \((C)\) không cắt Ox nên không tồn tại tiếp tuyển thỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Tọa độ giao điểm của \((C)\) với trục Oy là: \((0;1)\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến tại giao điểm \((C)\) với trục Ox là:

\(y = y'(0)(x - 0) + 1 \Leftrightarrow y = x + 1\)

c) Tọa độ giao điểm của \((C)\) với đường thẳng \(y = x + 1\) là nghiệm của phương trình :

\({x^2} + x + 1 = x + 1 \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \((0;1)\)là \(y = x + 1\)

d) Gọi \(M(a;b)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) với hệ số góc \(k = - 3\)

\( \Rightarrow y'(a)) = - 3 \Leftrightarrow 2a + 1 = - 3 \Leftrightarrow a = - 2\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến với hệ số góc \(k = - 3\) là \(y = - 3(x + 2) + 3 \Leftrightarrow y = - 3x - 3\)

a) \(A'H \bot AC\)

b) A’H không vuông góc (BB’C’C)

c) \(\left( {A'C,(ABCD)} \right) = \widehat {A'CH}\)

d) Thể tích khối lăng trụ bằng \(4{a^3}\sqrt 5 \)

Sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

a) \(A'H \bot (ABCD) \Rightarrow A'H \bot AC\)

b) A’H không vuông góc (BB’C’C)

c)d) Ta có: \(A'H \bot (ABCD)\)

\( \Rightarrow HC\)là hình chiếu của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow (\widehat {A'C,(ABCD)}) = (\widehat {A'C,HC}) = \widehat {HCA'} = {45^o}\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác HDC vuông tại D ta có:

\(HC = \sqrt {H{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow A'H = HC.\tan {45^o} = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = a\sqrt 5 .{\left( {2a} \right)^2} = 4{a^3}\sqrt 5 \).

a) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là 0,56

b) Xác suất để cả hai hai động cơ đều chạy không tốt là 0,06

c) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là 0,06

d) Xác suất để chỉ có 1 động cơ chạy tốt 0,3

Sử dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Gọi A là biến cố động cơ I chạy tốt

B là biến cố động cơ II chạy tốt

Theo giả thiết: \(P(A) = 0,8;P(B) = 0,7\)

\( \Rightarrow P(\overline A ) = 1 - 0,8 = 0,2;P(\overline B ) = 1 - 0,7 = 0,3\)

a)Gọi X là biến cố cả 2 động cơ cùng chạy tốt

Ta có X=A.B

Mà 2 biến cố A và B độc lập với nhau nên:

\(P(X) = P(A).P(B) = 0,8.0,7 = 0,56\)

b)Gọi Y là biến cố cả 2 động cơ cùng không chạy tốt

Ta có: \(Y = \overline A .\overline B \)

Mà 2 biến cố \(\overline A \); \(\overline B \) độc lập với nhau nên: \(P(Y) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0,2.0,3 = 0,06\)

c) Ta có biến cố: \(\overline Y \) là ít nhất 1 động cơ chạy tốt

\(P(\overline Y ) = 1 - P(Y) = 1 - 0,06 = 0,94\)

d)Gọi Z là biến cố chỉ có một động cơ chạy tốt

\(P(Z) = P(A).P(\overline B ) + P(\overline A ).P(B) = 0,8.0,3 + 0,2.0,7 = 0,38\)

Phương trình vận tốc của chất điểm: \(v(t) = s'(t)\)

Phương trình gia tốc của chất điểm: \(a(t) = v'(t)\)

Ta có: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\)

\(s\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} - 9t \Rightarrow s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9 \Rightarrow s''\left( t \right) = 6t - 6\)

Vậy gia tốc tức thời tại thời điểm \(t = 3s\) là \(a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12m/{s^2}.\)

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

\(y = \frac{{{x^2} - x + 3}}{{x + 1}} \Rightarrow y' = \frac{{{x^2} + 2x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

Do đó: \(a + b + c = 1 + 2 - 4 = - 1.\)

Sử dụng công thức tính trung vị

Tổng số vận động viên n = 5 + 12 + 32 + 45 + 30 = 124

Gọi x₁; x₂; ...; x₁₂₄ lần lượt là thời gian chạy của 124 vận động viên tham gia hội thao được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁; ...; x₅ ∈ [21; 21,5), x₆; ...; x₁₇ ∈ [21,5; 22), x₁₈; ...; x₄₉ ∈ [22; 22,5), x₅₀; ...; x₉₄ ∈ [22,5; 23), x₉₅; ...; x₁₂₄ ∈ [23; 23,5).

Số trung vị của dãy số liệu là: \[\frac{{\left( {{x_{62}} + {x_{63}}} \right)}}{2}\]

Mà x₆₂; x₆₃ ∈ [22,5; 23) do đó: \({M_e} = 22,5 + \frac{{\frac{{124}}{2} - 49}}{{45}}\left( {23 - 22,5} \right) \approx 22,6\)

Vậy ban tổ chức nên chọn vận động viên có thời gian chạy không quá 22,6 giây.

Sử dụng phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng

Từ \(A\) kẻ \(AH \bot SD \Rightarrow AH\)là đường vuông góc chung

Chứng minh: Ta có \(AB \bot AH\,\,\left( {Do\,\,AB \bot \left( {SAD} \right)} \right)\)và \(AH \bot SD \Rightarrow AH\)là đường vuông góc chung

\( \Rightarrow d\left( {AB,\,\,SD} \right) = AH.\)

Tính \(AH:\) \(AH = \frac{{AS.AD}}{{\sqrt {A{S^2} + A{D^2}} }} = \frac{{2a.2a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = a\sqrt 2 .\)

Sử dụng phương pháp tính đạo hàm theo định nghĩa

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm:

\(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)....\left( {x - 1000} \right)}}{x}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)....\left( {x - 1000} \right)} \right] = \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)....\left( { - 1000} \right) = 1000!\)

Vậy \(f'\left( 0 \right) = 1000!\)

Lập phương trình diện tích tam giác và tính diện tích theo a

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\,\,\)\(y' = - \frac{{2{a^2}}}{{{x^2}}}.\)

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{a^2}}}{x}\) tại điểm \(\left( {{x_0};\frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}}} \right)\)là đường thẳng \(\left( d \right)\) có dạng:

\(y = - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}},\,\,\left( {{x_0} \ne 0,a \ne 0} \right).\)

+ Gọi \(A = d \cap Ox:\)Cho\(y = 0 \Rightarrow - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow x - {x_0} - {x_0} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_0} \Rightarrow A\left( {2{x_0};0} \right).\)

+ Gọi \(B = d \cap Oy:\) Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}^2}}.\left( { - {x_0}} \right) + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} + \frac{{2{a^2}}}{{{x_0}}} = \frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}} \Rightarrow B\left( {0;\frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}}} \right).\)

+ Diện tích tam giác \(OAB\): \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.\left| {2{x_0}} \right|.\left| {\frac{{4{a^2}}}{{{x_0}}}} \right| = 4{a^2}\)