Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 7

a) \(\cot \alpha < 0\).

b) \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha < 0\).

c) Nếu \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) thì \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).

d) Nếu \(\sin 2\alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\) thì \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

a) Năm số hạng đầu của dãy là 2; 7; 12; 17; 22.

b) Số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 5n - 3\).

c) Số hạng \({u_{50}} = 247\).

d) 512 là số hạng thứ 102 của dãy.

a) a + b = 8.

b) a – b = -7.

c) Bộ ba số a; b; 13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7.

d) Bộ ba số a; b; 49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7.

a) MN//BC.

b) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD.

c) Gọi \(AB \cap CD = \{ E\} \), \(\{ F\} = SB \cap ME\). Khi đó \(SB \cap (MCD) = \{ F\} \).

d) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.

Tra bảng giá trị lượng giác hoặc sử dụng máy tính cá nhân.

Ta có \(\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Sử dụng tính chất của hàm số và đồ thị hàm số y = cosx.

Hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

Tìm lần lượt 4 số hạng đầu của dãy số.

Ta có: \({u_1} = 1\); \({u_2} = 2.1 + 3 = 5\);

\({u_3} = 2.5 + 3 = 13\); \({u_4} = 2.13 + 3 = 29\).

\({u_{n + 1}} = {u_n} + d\).

Ta có \({u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 3 = 1 + d \Leftrightarrow d = 2\).

Suy ra \({u_3} = {u_2} + d = 3 + 2 = 5\).

\({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

\({u_2} = {u_1}q = 3.2 = 6\).

Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

Ta có: \(\lim \frac{{n + 1}}{n} = 1\); \(\lim \frac{1}{n} = 0\); \(\lim 2023 = 2023\); \(\lim \frac{{2n + 3}}{n} = 2\).

f(x) không liên tục tại điểm hàm số không xác định.

Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \), do đó hàm số không liên tục tại \({x_0} = 2\).

Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng trong không gian song song với nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng trong không gian song song với nhau là đồng phẳng và không có điểm chung.

Sử dụng tính chất của phép chiếu song song.

Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.

Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng đó.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//BC.

Mà \(MN\not{ \subset }(BCD)\), \(BC \subset (BCD)\).

Suy ra MN//(BCD).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

\(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

\(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Xét họ nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \): Với k = 0 thì \(x = \frac{\pi }{6}\); k = 1 thì \(x = \frac{\pi }{6} + 2\pi = \frac{{13\pi }}{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \): Với k = 0 thì \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Vậy giá trị \(\frac{\pi }{3}\) không thuộc tập nghiệm của phương trình.

Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Ta có:

\(\lim \sqrt {{n^2} + 1} = + \infty \);

\(\lim \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = \lim n + \lim \frac{1}{n} = + \infty \);

\(\lim \left( {{2^n} + 1} \right) = + \infty \);

\(\lim \frac{n}{{n + 1}} = 1\) và \(0 < \frac{n}{{n + 1}} < 1\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy chỉ có dãy số \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\) bị chặn dưới và bị chặn trên.

a) \(\cot \alpha < 0\).

b) \(\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha < 0\).

c) Nếu \(\sin \alpha = - \frac{3}{5}\) thì \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\).

d) Nếu \(\sin 2\alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\) thì \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

a) Dựa vào vị trí tia cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác.

b) Sử dụng công thức \(\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \).

c) Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \) và dựa vào vị trí tia cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác.

d) Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \).

a) Đúng. \(\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)\) nên tia cuối của góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.

Khi đó: \(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha > 0\). Suy ra \(\cot \alpha < 0\).

b) Sai. \(\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \).

c) Đúng. Ta có \({\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}\).

Vì \(\cos \alpha > 0\) nên \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = \frac{4}{5}\).

d) Đúng. Ta có: \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha \)

\( = 1 + \sin 2\alpha = 1 + \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

a) Năm số hạng đầu của dãy là 2; 7; 12; 17; 22.

b) Số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = 5n - 3\).

c) Số hạng \({u_{50}} = 247\).

d) 512 là số hạng thứ 102 của dãy.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).

a) Đúng. Ta có:

\({u_1} = 2\); \({u_2} = 2 + 5 = 7\); \({u_3} = 7 + 5 = 12\); \({u_4} = 12 + 5 = 17\); \({u_5} = 17 + 5 = 22\).

b) Đúng. Thấy \({u_{n + 1}} - {u_n} = 5\) suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 2\), công sai d = 5.

Khi đó \({u_n} = 2 + (n - 1).5 = 5n - 3\).

c) Đúng. \({u_{50}} = 5.50 - 3 = 247\).

d) Sai. \(512 = 5n - 3 \Leftrightarrow n = 103\). Vậy 512 là số hạng thứ 103 của dãy.

a) a + b = 8.

b) a – b = -7.

c) Bộ ba số a; b; 13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7.

d) Bộ ba số a; b; 49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7.

Chia cả tử và mẫu của \({u_n}\) cho \({7^n}\).

Áp dụng công thức \(\lim {q^n} = 0\) khi \(\left| q \right| < 1\).

Ta có \(\lim {u_n} = \lim \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}} = \lim \frac{{{7^n} + {4^n}{{.2}^{ - 1}} + {3^n}.3}}{{{7^n}.7 + {5^n}{{.5}^{ - 1}}}}\)

\( = \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n}{{.2}^{ - 1}} + {{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}.3}}{{1.7 + {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}{{.5}^{ - 1}}}} = \frac{{1 + 0 + 0}}{{7 + 0}} = \frac{1}{7}\).

Vậy \(\frac{a}{b} = \frac{1}{7}\) hay a = 1, b = 7.

a) Đúng. a + b = 1 + 7 = 8.

b) Sai. a – b = 1 – 6 = -6.

c) Sai. 1; 7; 13 tạo thành cấp số cộng có công sai bằng d = 6.

d) Đúng. 1; 7; 49 tạo thành cấp số nhân có công bội q = 7.

a) MN//BC.

b) Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD.

c) Gọi \(AB \cap CD = \{ E\} \), \(\{ F\} = SB \cap ME\). Khi đó \(SB \cap (MCD) = \{ F\} \).

d) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.

Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

a) Đúng. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN//AD.

Mà AD//BC vì ABCD là hình thang có hai đáy AD, BC.

Suy ra MN//BC.

b) Đúng. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD \subset (SAD)\\BC \subset (SBC)\\S \in (SAD) \cap (SBC)\end{array} \right.\) suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S, song song với AD, BC.

c) Đúng. Vì \(E \in AB \subset (SAB)\) suy ra \(ME \subset (SAB)\).

Xét trong mặt phẳng (SAB) có \(\{ F\} = SB \cap ME\) (giả thiết) nên \(F \in SB\) (1)

Vì \(E \in CD \subset (MCD)\) nên \(ME \subset (MCD)\).

Mà \(F \in ME\) suy ra \(F \in (MCD)\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(SB \cap (MCD) = \{ F\} \).

d) Sai. Ta có \(S \in (SAB) \cap (SCD)\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset (SAB)\\E \in CD \subset (SCD)\end{array} \right.\) suy ra \(E \in (SAB) \cap (SCD)\).

Vậy SE là giao tuyến của (SAB) và (SCD).

Mực nước thấp nhất khi \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right)\) nhỏ nhất.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

\(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\) \((k \in \mathbb{Z})\).

Mực nước thấp nhất khi \(h = \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) + 5\) nhỏ nhất, hay \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right)\) nhỏ nhất.

Khi đó \(\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) = - 1 \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{6} = \pi + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow \frac{t}{6} = 1 + 12k \Leftrightarrow t = 6 + 12k\).

Ta có \(0 \le t < 24 \Leftrightarrow 0 \le 6 + 12k < 24 \Leftrightarrow - 6 \le 12k < 18 \Leftrightarrow - 2 \le k < \frac{3}{2}\).

Vậy k = 0 hoặc k = 1.

Với k = 0 thì t = 6 + 12.0 = 6.

Với k = 1 thì t = 6 + 12.1 = 18.

Vậy mực nước của kênh thấp nhất trễ nhất vào thời điểm t = 18 (giờ).

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: \({S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + (n - 1)d} \right]}}{2}\).

Số ghế mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với \({u_1} = 1600\) và d = 400.

Tổng số ghế trong rạp là:

\(222000 = \frac{{n\left[ {2.1600 + (n - 1).400} \right]}}{2} \Leftrightarrow 444000 = n\left( {2800 + 400n} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 30\\n = - 37\end{array} \right.\)

Giá trị n thỏa mãn là n = 30.

Vậy cần thiết kế ít nhất 30 hàng ghế.

Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 135\\{u_1}{q^3} + {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 40\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}(1 + q + {q^2}) = 135\\{u_1}{q^3}(1 + q + {q^2}) = 40\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow {q^3} = \frac{{40}}{{135}} \Leftrightarrow q = \frac{2}{3}\).

Suy ra a = 2, b = 3. Vậy a + b = 2 + 3 = 5.

Hàm số liên tục tại \({x_0}\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f(x) = f({x_0})\).

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = f( - 2) = b - 4\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{a(x + 2)}}{{{x^3} + 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{a(x + 2)}}{{(x + 2)({x^2} - 2x + 4)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{a}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{a}{{{{( - 2)}^2} - 2.( - 2) + 4}} = \frac{a}{{12}}\).

Để hàm số liên tục tại x = -2 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = f( - 2)\).

Suy ra \(\frac{a}{{12}} = b - 4 \Leftrightarrow a = 12b - 48 \Leftrightarrow a - 12b = - 48\).

Sử dụng tính chất đường trung bình, định lí Thales, tính chất các giao tuyến của ba mặt phẳng cắt nhau.

Vì PD = 2PC nên \(\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3}\).

Xét trong mặt phẳng (BCD) có NP không song song với BD do \(\frac{{CN}}{{CB}} \ne \frac{{CP}}{{CD}}\) \(\left( {\frac{1}{2} \ne \frac{1}{3}} \right)\).

Giả sử NP cắt BD tại H. Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in NP \subset (MNP)\\H \in BD \subset (ABD)\end{array} \right.\) suy ra \(H \in (MNP) \cap (ABD)\) (1)

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (MNP)\\H \in AB \subset (ABD)\end{array} \right.\) suy ra \(M \in (MNP) \cap (ABD)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MH là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

Xét trong mặt phẳng (ABD), giả sử MH cắt AD tại Q’.

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}Q' \in MH \subset (MNP)\\Q' \in AD\end{array} \right.\), suy ra Q’ là giao điểm của AD và mặt phẳng (MNP).

Do đó Q’ trùng Q.

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//AC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (ACD) = AC\\(ABC) \cap (MNP) = MN\\(ACD) \cap (MNP) = PQ\\MN//AC\end{array} \right.\) suy ra PQ//MN//AC.

Xét tam giác ACD có PQ//AC: \(\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{3} \approx 0,33\).

Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Sử dụng tính chất của các đường thẳng song song, tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng, hệ quả của định lí Thales.

ABCD là hình bình hành suy ra AD//BC.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD \subset (SAD)\\BC \subset (SBC)\\S \in (SAD) \cap (SBC)\end{array} \right.\) suy ra d là đường thẳng qua S song song với AD, BC.

Xét mặt phẳng (SBC), giả sử MN cắt d tại E. Khi đó ES//MN.

Theo hệ quả của định lí Thales, ta có \(\frac{{NS}}{{NC}} = \frac{{ES}}{{MC}} = \frac{1}{3}\).

Mà \(MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\).

Suy ra \(\frac{{ES}}{{AD}} = \frac{1}{6}\).

Vì ES//AD nên tam giác FSE đồng dạng với tam giác FDA.

Vậy \(\frac{{{S_{FDA}}}}{{{S_{FSE}}}} = {\left( {\frac{{AD}}{{ES}}} \right)^2} = {6^2} = 36\).