Đề thi học kì 1 Toán 11 Cánh diều - Đề số 1

Sử dụng công thức: \({\alpha ^0} = \alpha .\frac{\pi }{{180}}rad\).

Ta có: \({20^0} = 20.\frac{\pi }{{180}} = \frac{\pi }{9}\)

Sử dụng công thức: \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

Ta có:\(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)

Phương trình \(\sin x = \sin \alpha \)có nghiệm: \(x = \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi - \alpha + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\(\sin x = \sin \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Sử dụng kiến thức về tập xác định của hàm số lượng giác: Hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Hàm số \(y = \cot x\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}\)

Sử dụng kiến thức về đồ thị và tính chất của hàm số \(y = \tan x\): Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \)

Hàm số \(y = \tan x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \)

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Trong các dãy số trên, chỉ có dãy số 1; 2; 3; 4; … có \(1 < 2 < 3 < 4...\) nên dãy số 1; 2; 3; 4; … là dãy số tăng.

Sử dụng kiến thức về cấp số cộng: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Trong các dãy số trên, chỉ có dãy số 1; 3; 5; 7; 9; … có kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d \(\left( {d = 2} \right)\)

Sử dụng kiến thức về cách cho một dãy số.

Dãy số được viết dưới dạng công thức của số hạng tổng quát là: \({u_n} = \frac{1}{n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\)

Sử dụng quy tắc về giới hạn vô cực của dãy số: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}{v_n} = + \infty \).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}{v_n} = + \infty \).

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục trên một khoảng: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm trên khoảng này.

Hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Sử dụng công thức: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{n} = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{4}{n} = 0\)

Sử dụng quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = M\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = L - M\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x - 3} \right) = 1 - 3 = - 2\)

Sử dụng kiến thức về hình lăng trụ tam giác: Hình lăng trụ có hai đáy song song với nhau.

Hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có (ABC) // (A’B’C’).

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng: Nếu d và \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung thì \(d//\left( \alpha \right)\)

Nếu d và \(\left( \alpha \right)\) không có điểm chung thì \(d//\left( \alpha \right)\)

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng: Có bốn vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b trong không gian: cắt nhau, trùng nhau, song song và chéo nhau.

Hai đường thẳng a và b có thể: cắt nhau, trùng nhau, song song, chéo nhau.

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) thì \(d \subset \left( P \right)\) và \(d \subset \left( Q \right)\)

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng chéo nhau: Nếu hai đường thẳng a và b không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào thì ta nó a và b chéo nhau.

Vì hai đường thẳng AB và CD không cùng nằm trong một mặt phẳng nào nên AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau.

Sử dụng kiến thức về hàm số lượng giác: \( - 1 \le \cos x \le 1\) với mọi số thực x.

Vì \(\cos x \le 1\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2\cos x \le 2\;\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow 2\cos x + 1 \le 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2\cos x + 1\) là 3

Sử dụng kiến thức về điều kiện có nghiệm của phương trình \(\cos x = m\): Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\left| m \right| \le 1\)

Ta có: \({\cos ^2}x - {\sin ^2}x - m = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = m\left( 1 \right)\)

Để phương trình (1) có nghiệm thì \(\left| m \right| \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 1\)

Sử dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên điểm cuối của \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ II, suy ra \(\cos \alpha < 0\). Do đó, \(\cos \alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\).

Tính các giá trị \({u_3}\) và \({u_4}\) rồi tính tổng.

Ta có: \({u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 1 + 2.1 = 3;{u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 3 + 2.1 = 5\). Do đó, \({u_3} + {u_4} = 3 + 5 = 8\).

Sử dụng kiến thức về tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q \ne 1\). Khi đó, tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân là: \({S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\)

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là: \(S = \frac{{2.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}} = 59048\)

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1}\) và công sai d thì số hạng tổng quát \({u_n}\) của nó được xác định theo công thức: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Ta có: \({u_4} = {u_1} + 3d = 2 + 3.3 = 11;{u_6} = {u_1} + 5d = 2 + 5.3 = 17\)

Do đó, \({u_4} + {u_6} = 11 + 17 = 28\)

Sử dụng kiến thức tính giới hạn của thương \(\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\): Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = L < 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } g\left( x \right) = 0\) và \(g\left( x \right) > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = - \infty \)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 16} \right) = 2 - 16 = - 14 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\)

Với \(x \to {2^ + }\) thì \(x > 2\) nên \(x - 2 > 0\). Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 16}}{{x - 2}} = - \infty \)

Sử dụng kiến thức về giới hạn hàm số để làm: Nhận thấy \(x = \sqrt 3 \) là nghiệm của cả tử thức và mẫu thức nên ta cần rút phân thức trước khi tính giới hạn.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } \right) = \sqrt 3 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 \).

Do đó, \(a = 2,b = 3\). Suy ra: \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13\).

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm \({x_0}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Tập xác định của hàm số f(x) là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {2x + 1} \right) = - 1\).

Hàm số đã cho liên tục tại \({x_0} = - 1\) khi \(f\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) \Leftrightarrow m = - 1\).

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Đường thẳng chung d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Xét mặt phẳng (ABC), gọi G là giao điểm của BN và CM.

Vì \(G \in BN \Rightarrow G \in \left( {SBN} \right);G \in CM \Rightarrow G \in \left( {SCM} \right)\) nên G là điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM)

Ta có: \(S \in SB \Rightarrow S \in \left( {SBN} \right),S \in SC \Rightarrow S \in \left( {SCM} \right)\) nên S là điểm chung của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM)

Do đó, SG là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SCM).

Sử dụng kiến thức về cách xác định một mặt phẳng: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định qua ba điểm không thẳng hàng.

Ta xác định được các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD). Do đó, xác định được 4 mặt phẳng.

Sử dụng kiến thức về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Ta có: Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right),CD \subset \left( {SCD} \right)\)

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng m qua S song song với AB.

Sử dụng kiến thức về hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.

Vì BD // B’D’ nên B’D’ // (BDC’). Vì AD’ // BC’ nên AD’ // (BDC’)

Lại có hai đường thẳng AD’ và B’D’ cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (AB’D’). Do đó, (AB’D’) // (BDC’)

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số: Rút gọn biểu thức \(\frac{{2\sqrt {3 + x} - 4x}}{{2x - 2}}\) rồi áp dụng quy tắc về giới hạn để tính.

\(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {3 + x} - 4x}}{{2x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {2\sqrt {3 + x} - 4x} \right)\left( {2\sqrt {3 + x} + 4x} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {3 + x} + 4x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{4\left( {x + 3} \right) - 16{x^2}}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {3 + x} + 4x} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 16{x^2} + 4x + 12}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {2\sqrt {3 + x} + 4x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - 4\left( {x - 1} \right)\left( {4x + 3} \right)}}{{4\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {3 + x} + 2x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \left( {4x + 3} \right)}}{{\sqrt {3 + x} + 2x}} = \frac{{ - 7}}{4}\)

Sử dụng kiến thức về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì a song song với (P).

Gọi E là trung điểm của BC. Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\frac{{GD}}{{ED}} = \frac{2}{3}\)

Mà \(MB = 2MC \Rightarrow 3MC = BC\). Lại có: \(EC = BE = \frac{1}{2}BC \Rightarrow \frac{{MC}}{{EC}} = \frac{2}{3}\)

Tam giác EDC có: \(\frac{{GD}}{{ED}} = \frac{{MC}}{{EC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\) nên MG // CD (định lý Thalès đảo)

Mà \(CD \subset \left( {ACD} \right)\) nên MG // (ACD)

Sử dụng công thức: \(\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}\cos \frac{{a - b}}{2};\sin a\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\)

\(A = \frac{1}{{2 - \sin 2a}} + \frac{1}{{2 - \sin 2b}} = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{\left( {2 - \sin 2a} \right)\left( {2 - \sin 2b} \right)}} = \frac{{4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right)}}{{4 - 2\left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) + \sin 2a.\sin 2b}}\)

Vì \(\sin \left( {a + b} \right) - 2\cos \left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \sin \left( {a + b} \right) = 2\cos \left( {a - b} \right)\)

Ta có: \(4 - \left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) = 4 - 2\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) = 4 - 4{\cos ^2}\left( {a - b} \right) = 4{\sin ^2}\left( {a - b} \right)\)

Lại có: \(4 - 2\left( {\sin 2a + \sin 2b} \right) + \sin 2a.\sin 2b\)

\( = 4 - 4\sin \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2a - 2b} \right) - \cos \left( {2a + 2b} \right)} \right]\)

\( = 4 - 8{\cos ^2}\left( {a - b} \right) + \frac{1}{2}\left[ {2{{\cos }^2}\left( {a - b} \right) - 1 - 1 + 2{{\sin }^2}\left( {a + b} \right)} \right]\)

\( = 3 - 7{\cos ^2}\left( {a - b} \right) + {\sin ^2}\left( {a + b} \right) = 3 - 3{\cos ^2}\left( {a - b} \right) = 3{\sin ^2}\left( {a - b} \right)\)

Vậy \(A = \frac{{4{{\sin }^2}\left( {a - b} \right)}}{{3{{\sin }^2}\left( {a - b} \right)}} = \frac{4}{3}\)

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Sử dụng kiến thức về dãy số bị chặn trên: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Ta có: \({u_n} = \frac{{2 - 1}}{{1.2}} + \frac{{3 - 2}}{{2.3}} + \frac{{4 - 3}}{{3.4}} + \ldots + \frac{{(n + 1) - n}}{{n(n + 1)}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)

Xét hiệu: \({u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 2}} - \left( {1 - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) tăng

Nhận thấy \({u_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.