Đề thi giữa kì 2 Toán 9 - Đề số 3

a) Số học sinh lớp 9A là 40 học sinh.

b) Bảng tần số của biểu đồ tần số trên là:

c) Tần số tương đối của trò Nhảy bao bố là 15%.

d) Biểu đồ hình quạt biểu diễn tần số tương đối của trò chơi các bạn lớp 9A đề xuất là:

a) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\).

b) Đường tròn \(\left( O \right)\) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Nếu \(\widehat {ABC} = 80^\circ \) thì \(\widehat {ADC} = 100^\circ \).

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD bằng \(\frac{{BD}}{2}\).

Thay tung độ \(y = 4\) vào hàm số, ta tính được giá trị của \(x\) tương ứng.

Thay \(y = 4\) vào hàm số \(y = 8{x^2}\) ta được \(4 = 8{x^2}\) suy ra \({x^2} = \frac{1}{2}\) suy ra \(x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) hoặc \(x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \(4\) là \(\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2};4} \right)\) và \(\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};4} \right)\).

Đáp án A

Phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hệ số a, b, c.

Hệ số a, b, c của phương trình \(3{x^2} - 8x - 2 = 0\) lần lượt là: \(a = 3,b = - 8,c = - 2\).

Đáp án C

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có \(a + b + c = 0\) thì phương trình có nghiệm là \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{c}{a}\).

Vì \(a + b + c = \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + 2 - \sqrt 3 = 0\) nên phương trình \(\left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} + 2x - \sqrt 3 = 0\) có nghiệm là \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 2}}\)

Đáp án D

Lập bảng tần số, xác định các giá trị khác nhau và tần số xuất hiện của các giá trị.

Ta có bảng tần số:

Có 7 giá trị khác nhau.

Đáp án C

Sử dụng tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng \(180^\circ \).

Tứ giác BEGH nội tiếp đường tròn (I) nên ta có:

\(\widehat G + \widehat B = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat G = 180^\circ - \widehat B = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ \)

Đáp án B

Từ tam giác cân OAC, tính góc OAC.

Tính góc nội tiếp BAC = \(\frac{1}{2}\) góc ở tâm chắn cung đó.

Ta tính được số đo góc BAO.

Vì tam giác AOC cân nên \(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = 40^\circ \)

Vì tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC. Mà \(\widehat {BOC}\) là góc ở tâm chắn cung BC nên \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}\widehat {BOC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \).

Mà \(\widehat {BAO} + \widehat {OAC} = \widehat {BAC}\) nên ta có:

\(\widehat {BAO} = \widehat {BAC} - \widehat {OAC} = 60^\circ - 40^\circ = 20^\circ \).

Đáp án C

a) Số học sinh lớp 9A là 40 học sinh.

b) Bảng tần số của biểu đồ tần số trên là:

c) Tần số tương đối của trò Nhảy bao bố là 15%.

d) Biểu đồ hình quạt biểu diễn tần số tương đối của trò chơi các bạn lớp 9A đề xuất là:

a) Tính tổng số học sinh cả lớp dựa vào tần số các giá trị.

b) Quan sát biểu đồ tần số để xác định tần số của các giá trị và lập bảng tần số.

c) Tần số tương đối của giá trị bằng tần số của giá trị với tổng tần số.

d) Tính tần số tương đối của các giá trị để vẽ biểu đồ tần số tương đối.

a) Đúng

Lớp 9A có số học sinh là:

5 + 12 + 6 + 8 + 9 = 40 (học sinh)

Vậy a) đúng.

b) Sai

Quan sát biểu đồ, ta lập được bảng tần số:

Vậy b) sai.

c) Sai

Tần số tương đối của trò Nhảy bao bố là: \(\frac{{12}}{{40}}.100\% = 30\% \).

Vậy c) sai.

d) Đúng

Tần số tương đối của trò chơi Cướp cờ; Nhảy bao bố; Đua thuyền cạn; Kéo co; Bịt mắt bắt dê lần lượt là:

\({f_1} = \frac{{5.100}}{{40}}\% = 12,5\% \); \({f_2} = \frac{{12.100}}{{40}} = 30\% \); \({f_3} = \frac{{6.100}}{{40}}\% = 15\% \); \({f_4} = \frac{{8.100}}{{40}}\% = 20\% \); \({f_5} = \frac{{9.100}}{{40}}\% = 22,5\% \).

Ta có bảng tần số tương đối là:

Vậy biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn tần số tương đối của trò chơi các bạn lớp 9A đề xuất là:

Đáp án: ĐSSĐ

a) \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\).

b) Đường tròn \(\left( O \right)\) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c) Nếu \(\widehat {ABC} = 80^\circ \) thì \(\widehat {ADC} = 100^\circ \).

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD bằng \(\frac{{BD}}{2}\).

a) Sử dụng hai góc nội tiếp chắn cùng một cung thì bằng nhau.

b) Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

c) Dựa vào tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng \(180^\circ \).

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền.

a) Đúng

Vì \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACD}\) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD}\).

b) Sai

Đường tròn \(\left( O \right)\) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC nên là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Đúng

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \).

d) Đúng

Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) (vì ABCD là tứ giác nội tiếp) có \(\widehat A = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên tam giác ABD vuông tại A.

Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD bằng \(\frac{{BD}}{2}\), hay bán kính đường tròn (O) bằng \(\frac{{BD}}{2}\).

Đường tròn \(\left( O \right)\) đi qua ba đỉnh của tam giác ACD nên là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD bằng \(\frac{{BD}}{2}\).

Đáp án: ĐSĐĐ

Xác định một điểm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc parabol, khi đó thay \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) vào hàm số \(y = a{x^2}\) thì \({y_0} = a{x_0}^2\) nên \(a = \frac{{{y_0}}}{{{x_0}^2}}\) với \({x_0} \ne 0\).

Từ đồ thị ta có điểm \(\left( {1;2} \right)\) thuộc parabol \(y = a{x^2}\) nên ta có: \(2 = a{.1^2}\)

suy ra \(a = \frac{2}{{{1^2}}} = 2\).

Vậy a = 2.

Đáp án: 2

Thay \(x = - 1\) vào phương trình để tìm m.

Với m vừa tìm được, giải phương trình để tìm nghiệm còn lại.

Thay \(x = - 1\) vào phương trình \({x^2} - 2\left( {3m + 2} \right)x + 2{m^2} - 3m - 10 = 0\), ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m + 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2{m^2} - 3m - 10 = 0\\1 + 6m + 4 + 2{m^2} - 3m - 10 = 0\\2{m^2} + 3m - 5 = 0\\2{m^2} - 2m + 5m - 5 = 0\\2m\left( {m - 1} \right) + 5\left( {m - 1} \right) = 0\\\left( {2m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\end{array}\)

2m + 5 = 0 hoặc m – 1 = 0

2m = -5 hoặc m = 1

\(m = - \frac{5}{2}\) (loại) hoặc m = 1 (TM)

Với m = 1, phương trình trở thành: \({x^2} - 10x - 11 = 0\)

Giải phương trình:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 10x - 11 = 0\\{x^2} - 11x + x - 11 = 0\\x\left( {x - 11} \right) + \left( {x - 11} \right) = 0\\\left( {x + 1} \right)\left( {x - 11} \right) = 0\end{array}\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 11 = 0\)

\(x = - 1\) hoặc \(x = 11\)

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là \(x = 11\)

Đáp án: 11

Từ biểu đồ tranh, tính tổng số ti vi bán được từ năm 2018 đến năm 2022 và số ti vi bán được trong năm 2022.

Tần số tương đối của số ti vi bán được trong năm 2022 bằng tỉ số phần trăm giữa số ti vi bán được năm 2022 với tổng số ti vi bán được.

Từ biểu đồ tranh, ta thấy số ti vi bán được của các năm 2018; 2019; 2020; 2021; 2022 lần lượt là: 500; 600; 250; 300; 350.

Tổng số ti vi bán được từ năm 2018 đến 2022 là: 500 + 600 + 250 + 300 + 350 = 2000 (chiếc)

Tần số tương đối của số ti vi bán được trong năm 2022 là: \(\frac{{350}}{{2000}}.100\% = 17,5\% \)

Đáp án: 17,5

Chứng minh tam giác BCO, BAO đều nên tính được số đo góc BOC, BOA.

Ta tính được số đo góc AOC, từ đó suy ra số đo góc ADC (liên hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng một cung).

Kết hợp với tính chất hai góc đối của tứ giác nội tiếp, ta có số đo góc ABC.

Xét tam giác BCO có: BC = CO = BO = R nên tam giác BCO đều, do đó \(\widehat {BOC} = 60^\circ \).

Xét tam giác BAO có: BA = AO = BO = R nên tam giác BAO đều, do đó \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

\(\widehat {AOC} = \widehat {AOB} + \widehat {BOC} = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \)

Mà \(\widehat {AOC}\) là góc ở tâm chắn cung AC, \(\widehat {ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC nên \(\widehat {ADC} = \frac{1}{2}\widehat {AOC} = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)

Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)

Đáp án: 120

Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\left( {x > 0,km/h} \right)\)

Biểu diện vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngược dòng, thời gian xuôi dòng, thời gian ngược dòng của ca nô.

Từ đó lập phương trình bậc hai ẩn \(x\) biểu diễn hiệu thời gian xuôi dòng và ngược dòng của ca nô.

Giải phương trình, kết hợp điều kiện ban đầu của \(x\) để xác định.

Gọi vận tốc thực của ca nô là \(x\left( {x > 0,km/h} \right)\)

Khi đó vận tốc xuôi dòng của ca nô là: \(x + 4\left( {km/h} \right)\), thời gian xuôi dòng của ca nô là: \(\frac{{80}}{{x + 4}}\) (h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là: \(x - 4\left( {km/h} \right)\), thời gian ngược dòng của ca nô là: \(\frac{{72}}{{x - 4}}\) (h)

Đổi 15 phút \( = \frac{1}{4}\)h.

Vì thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút nên ta có phương trình:

\(\frac{{72}}{{x - 4}} - \frac{{80}}{{x + 4}} = \frac{1}{4}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{288\left( {x + 4} \right) - 320\left( {x - 4} \right)}}{{4\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \frac{{{x^2} - 16}}{{4\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}\\288x + 1152 - 320x + 1280 = {x^2} - 16\\{x^2} + 32x - 2448 = 0\end{array}\)

Ta có:

\(\Delta ' = {16^2} - \left( { - 2448} \right) = 2704\) suy ra \(\sqrt {\Delta '} = 52\)

Khi đó phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = - 16 + 52 = 36\) (thỏa mãn); \({x_2} = - 16 - 52 = - 68\) (không thỏa mãn)

Vậy vận tốc thực của ca nô là 36km/h.

Tính độ dài cạnh khung gỗ chính là tính cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn.

Từ công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}a\), ta tính cạnh a theo bán kính đường tròn nội tiếp.

Vì khung ảnh hình tròn tiếp xúc với các cạnh của tam giác đều nên ta có đường tròn nội tiếp tam giác đều.

Vì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều là \(R = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) với a là độ dài cạnh tam giác đều nên ta có:

\(\begin{array}{l}40 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\\a\sqrt 3 = 240\\a = \frac{{240}}{{\sqrt 3 }} \approx 138,6\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy độ dài cạnh khung gỗ khoảng 138,6cm.

Trục căn thức nghiệm \({x_1}\): \(\frac{C}{{\sqrt A + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\)

Sử dụng định lí Viète để tìm \({x_2}\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Thay \({x_1};{x_2}\) vào A.

Ta có: \({x_1} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = \frac{{2 + 2\sqrt 2 + 1}}{{2 - 1}} = 3 + 2\sqrt 2 \).

Áp dụng định lí Viète vào phương trình \({x^2} + x + m = 0\), ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 1\)

\(\begin{array}{l}3 + 2\sqrt 2 + {x_2} = - 1\\{x_2} = - 1 - 3 - 2\sqrt 2 \\{x_2} = - 4 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2024{x_1} + 2025{x_2}\\ = 2024\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) + 2025\left( { - 4 - 2\sqrt 2 } \right)\\ = 6072 + 4048\sqrt 2 - 8100 - 4050\sqrt 2 \\ = - 2028 - 2\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(A = - 2028 - 2\sqrt 2 \).