Cho \(I = \int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{3{x^2} + 5x – 1}}{{x – 2}}dx} = a\ln \frac{2}{3} + b\). Tính giá trị \(T = a + 2b\).
\(T = 50.\)
Gọi \(S\) là diên tích hình phằng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\),\(y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a;x = b\,\,\,\left( {a < b} \right)\). Tính \(S\).
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right|} dx.\)
Công thức nào sau đây là công thức tính nguyên hàm từng phần?
\(\int {udv} = uv' - \int {vdu} .\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \). Đặt \(t = \sqrt {1 + x} \) ta được\(I = \int\limits_1^2 {f(t)dt} \). Tìm hàm số \(f\left( t \right)\) trong các phương án sau?
\(f(t) = {t^2} - t.\)
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{{\sqrt {2 – {x^2}} }}\).
\(F(x) = - \frac{1}{3}{x^2}\sqrt {2 - {x^2}} .\)
Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi ta cho hình phẳng D giới hạn bởi các
đường \(y = f(x)\), trục \(Ox\), \(x = a;x = b\,\,\,\left( {a < b} \right)\) quay quanh trục \(Ox\). Tính \(V\).
\(V = \int\limits_a^b {{{\left( {\pi f(x)} \right)}^2}} dx.\)
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\)của hàm số \(y = \frac{{\ln 2x}}{{{x^2}}}\).
\(F\left( x \right) = - \frac{1}{x}\left( {\ln 2x + 1} \right).\)
Tính I = \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan xdx} \) ta được
\(I = \)–ln2.
Tính \(I = \int {x\cos 2xdx} \) là:
\(I = \frac{1}{2}x\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.\)
Cho \(K \subset R\),\(k,h \in R\). Biết \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) lần lượt là một nguyên hàm của \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) trên tập K. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
\(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} dx = F\left( x \right) \pm G\left( x \right) + C.\)
Câu 2. Tính tích phân \(I = \int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{10}}x\,dx} \)
B1. Đặt \(t = {x^2} + 1\) B2.\(I = \int {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{10}}x\,dx} = \int {{t^{10}}.\frac{1}{2}dt} \)
B3. Tính \(dt = 2xdx\) B4. \(I = \frac{1}{2}.\frac{{{t^{11}}}}{{11}} + C\) B5. \(I = \frac{1}{{22}}{\left( {{x^2} + 1} \right)^{11}} + C\)
Hãy sắp xếp các bước của bài giải trên cho đúng thứ tự (có thể bỏ bước không cần thiết).
1-2-3-4-5.
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2x\), trục tung, trục hoành, đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\). Tính \(S\).
\(S = \frac{{23}}{{64}}\,.\)
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{e^{{{\sin }^2}x}}\sin x{{\cos }^3}xdx} \). Đổi biến số \(t = {\sin ^2}x\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(I = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^1 {{e^t}dt} + \int\limits_0^1 {t{e^t}dt} } \right).\)
Tính \(I = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – x} }}} \).
\(I = \frac{{ - 2}}{{\sqrt {1 - x} }} + C.\)
Tính I = \(\int\limits_2^3 {\ln ({x^2} – x)dx} \) là
2-3ln3.
Một hạt proton di chuyển trong điện trường có biểu thức gia tốc ( theo \({\rm{cm/}}{{\rm{s}}^2}\) ) là \(a(t) = \frac{{ – 20}}{{{{\left( {1 + 2t} \right)}^2}}}\) (với t tính bằng giây). Tìm hàm vận tốc \(v\) theo t, biết rằng khi \(t = 0\) thì \(v = 30{\rm{ cm/s}}\).
\(\frac{{10}}{{1 + 2t}} + 20.\)
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\)của hàm số \(f(x) = 2{{\rm{x}}^2} + 1\).
\(2{x^3} + x + C.\)
Một nguyên hàm của hàm số \(y = 2x\left( {{e^x} – 1} \right)\) là:
\(F\left( x \right) = 2{e^x}\left( {1 - x} \right) - 4{x^2}.\)
Nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = 4{x^3} – 3{{\rm{x}}^2} + 2\) trên R thoả mãn điều kiện \(F( – 1) = 3\) là
\({x^4} - {x^3} + 2{\rm{x}} + 3.\)
Biết tích phân \(\int\limits_0^1 {x\sqrt[3]{{1 – x}}} dx = \frac{M}{N}\), với \(\frac{M}{N}\) là phân số tối giản. Tính giá trị \(M + N\).
\(M + N = 37.\)
Tìm nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x – 3\cos x\) thỏa điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\)
\(F(x) = {x^2} - 3\sin x + 6 - \frac{{{\pi ^2}}}{4}.\)
Tính tích phân \(L = \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \) bằng:
L = 0.
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx = 2\) và \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx = 3\). Tính \(M = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx\).
\(M = - 1.\)
Giả sử \(F(x),\,\;G(x)\) lần lượt là nguyên hàm hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
\(\int\limits_a^b {f(x)dx} = F\left( a \right) - F(b).\)
Ký hiệu \(V\) là thể tích của khối tròn xoay có được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = 0,\,\,x = \frac{\pi }{4},\,\,y = 0,\,\,y = \sin x\) xung quanh trục \(Ox\). Tính \(V\).
\(V = \frac{\pi }{2}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}} \right).\)
Kết quả: