Nếu \(\int f (x){\rm{ d}}x = {e^x} + \sin x + C\) thì \(f(x)\) bằng
\({e^x} + \sin x.\)
Tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {1 – c{\rm{osx}}} \right)}^n}\sin {\rm{x}}dx} \) có giá trị bằng:
\( - \frac{1}{{n + 1}}.\)
Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\) ; \(y = 0\) và \(x = 0;x = 1\) là
\(3\ln 2 - 2.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
\(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} dx\,\, = \int {f\left( x \right)} dx.\int {g\left( x \right)dx} .\)
Nếu \(f(1) = 12,f'(x)\) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'(x)dx = 17} \), giá trị của f(4) bằng:
9
Giá trị của \(\int\limits_{ – 1}^5 {\frac{1}{{x + 2}}} dx\) bằng
\(\ln \frac{7}{5}\).
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\cos x\) là:
\(x\sin x + \cos x + C.\)
Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo (H.1) được tính theo công thức: 
\(S = \int\limits_0^1 {\frac{1}{3}{x^3}dx} .\)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường \(y = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2},y = 0,x = 0,x = 3\) quanh trục Ox là:
\(\frac{{61\pi }}{{35}}.\)
Một học sinh giải bài toán tính \(\int_1^e {\ln xdx} \) như sau:
Bước 1: Chọn \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = x
\end{array} \right.\)
Bước 2: \(I = \left. {x.\ln x} \right|_1^e – \int_1^2 {\frac{1}{x}.xdx} \)
Bước 3: \(I = \left. {e – \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left| x \right|} \right|_1^e\)
Bước 4: \(I = e – \frac{{{e^2}}}{2}\)
Trong các cách giải trên, sai từ bước nào?
Bước 3.
Thể tích vật thể tròn xoay của hình giới hạn bởi các đường: \(y = {x^2}\); y = 4; x = 0; x = 2; khi quay quanh trục Ox được tính bởi công thức:
\(\frac{{128}}{{15}}.\)
Tính tích phân sau:\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(2x – 1)\cos xdx} = m\pi + n\) giá trị của m+n là:
-1
Tích phân\(\int_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\) có giá trị bằng
\(\frac{5}{3}\).
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},\,\,y = 0,\,\,x = 2\) quanh trục Ox:
\(V = \pi \int\limits_0^2 {{x^3}} dx.\)
Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{x – 1}}\) và F(2) = 1. Khi đó F(3) bằng bao nhiêu:
\(\ln 2 + 1.\)
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {7^x}\) là:
\(\,\,\frac{{{7^x}}}{{\ln 7}} + C.\)
Một học sinh giải bài toán tính \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{2.{e^{{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \) như sau:
Bước 1: Đặt \(t = ta{\rm{nx}} \Rightarrow {\rm{dt = }}\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\) Bước 2: Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1\)
Bước 3: \(I = \int_0^1 {{e^t}dt} = \left. {{e^t}} \right|_0^1\) Bước 4: \(I = e – 1\)
Trong các cách giải trên, sai từ bước nào?
Bước 3.
Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên [0; 10] thỏa mãn: \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right)} dx = 7\) , \(\int\limits_6^{10} {f\left( x \right)} dx = 3\). Khi đó, \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx} \) có giá trị là:
21
Cho hai hàm số \(y = f(x),\,y = g(x)\) liên tục trên [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số \(y = f(x),\,y = g(x)\) và đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a,{\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}b\) có diện tích S đươc tính bởi công thức
\(S = \int\limits_a^b {[g\left( x \right) - f(x)]dx} .\)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {2^x}\),\(y = 2,\,\,x = 3\) là:
\(4 - 6\ln 2\).
Với t = \(\sqrt x \), tích phân \(\int\limits_1^4 {{e^{\sqrt {\rm{x}} }}} dx\) bằng tích phân nào sau đây?
\(\int\limits_1^2 {{e^t}} dt.\)
Giá trị của \(\int_0^1 {x.{e^{2x}}} dx\) bằng
\(\frac{1}{4}\left( {{e^2} + 1} \right)\).
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^2} + \frac{3}{x} – 2\sqrt x \)là:
\(\frac{{{x^3}}}{3} + 3\ln \left| x \right| + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C\)
Cho \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^4}} x.\cos xdx\). Đặt \(t = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\), ta có I bằng:
\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{t^4}} dt\).
Giá trị của \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2x} dx\) bằng
\(\frac{1}{2}\).
Kết quả: