Đặt \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sin xdx} \) và \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{x^2}co{\mathop{\rm s}\nolimits} xdx} \). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(J = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + 2I.\)
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi \(y = 2x – {x^2},{\rm{ }}y = 0\). Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) xung quanh trục Ox ta được \(V = \pi \left( {\frac{a}{b} + 1} \right)\). Khi đó
\(a = 1,\;b = 15.\)
Họ nguyên hàm của hàm số: y = sin3x.cosx là
\(\frac{1}{4}{\sin ^4}x + C.\)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 3{x^2} + 2x\), trục tung, trục hoành, đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\), ta có kết quả:
\(\frac{9}{{64}}.\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) là
\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x + C.\)
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa điều kiện:\(f(x) = 2x – 3\cos x,F(\frac{\pi }{2}) = 3\)
\(F(x) = {x^2} - 3\sin x + 6 + \frac{{{\pi ^2}}}{4}.\)
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {x – 1} \) , trục hoành, x=2 và x=5 quanh trục Ox bằng:
\(\int\limits_2^5 {\left( {x - 1} \right)dx} .\)
Tính tích phân: \(I = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\sqrt {1 – 4x} } dx\), ta có kết quả
\(I = \frac{{5\sqrt 5 }}{6} - \frac{9}{2}.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \), ta có kết quả:
\(I = - 1.\)
Hàm số \(F\left( x \right) = {e^x} – \cot x + C\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) nào?
\(f\left( x \right) = {e^{ - x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}.\)
Cho \(F\left( x \right),G\left( x \right)\) lần lượt là một nguyên hàm của \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) trên tập \(K \subset R\) và \(k,h \in R\). Kết luận nào sau đây là sai?
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K.\)
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số \(y = {e^{ – x}}\)
\( - {e^{ - x}} + C.\)
Thể tích V của khốii tròn xoay tạo thành khi ta cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\), trục Ox, x=a, x = b (a< b) quay quanh trục Ox được tính bởi công thức:
\(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)} dx.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{1}{{2x – 1}}dx} .\)
\(I = \ln 2 - 1.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {x\sin xdx} \), ta có kết quả:
\(I = 0.\)
Tính tích phân: \(I = \int\limits_{\frac{1}{e}}^e {\frac{{dx}}{x}} \).
\(I = 2.\)
Nếu gọi V là thể của khối tròn xoay có được khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = 0,x = \frac{\pi }{4},y = 0,y = s{\rm{inx}}\) quay xung quanh trục Ox thì:
\(V = \frac{\pi }{2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{1}{2}} \right).\)
Tính tích phân: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} + 1}}} dx\), ta có kết quả:
\(I = \frac{1}{4}\ln 2.\)
Công thức nào sau đây dùng để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x, y=2, x=0, x=1 cho kết quả sai?
\(S = \int\limits_1^0 {\left( {{2^x} - 2} \right)dx} .\)
Công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\) liên tục trên\(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) là
\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx.\)
Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^x}\), trục Ox, hai đường thẳng x = 0, x = 1 . Thể tích khối tròn xoay khi quay hình đó xung quanh trục hoành là:
\(\pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} .\)
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox, hai đường thẳng x=a, x=b (a
\(S = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)} dx.\)
Tính tích phân: \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} \).
\(I = 0.\)
Cho \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\rm{cos}}xdx}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}}}} \) và \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{\rm{sin}}xdx}}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx + cosx}}}}} \). Biết rằng I = J thì giá trị của I và J bằng:
\(\frac{\pi }{4}.\)
Cho \(f\left( x \right)\) liên tục trên [0;10] thỏa mãn: \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right)} dx = 7\), \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right)} dx = 3\). Khi đó, \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right)dx} \) có giá trị là:
\(1.\)
Kết quả: