Cho F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên K. Khẳng định nào sau đây là sai?
\((F(x))' = f(x),\;\forall x \in K.\)
Cho \(I = \int\limits_0^2 {\left( {2{x^2} – x – m} \right)dx} ,\;J = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} – 2mx} \right)dx.} \;\)Tìm các giá trị của m để \(I \le J.\)
\(m \ge 1.\)
Một học sinh tính tích phân I = \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x(2 + \sin x)dx} \) như sau :
B1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = (2 + \sin x)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 1\\
v = 2x – \cos x
\end{array} \right..\) B2: \(I = \left. {x\left( {2x – \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(2x – \cos x)dx} .\)
B3: \(I = \left. {x\left( {2x – \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \left. {\left( {{x^2} + sinx} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}.\) B4: \(I = \frac{{{\pi ^2}}}{4} + 1.\)
Bước giải sai đầu tiên của học sinh là:
Bước 4.
Một vật chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình vật tốc là \(v = 4 + 2t\;(m/s).\) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm \({t_o} = 0\;(s)\) đến thời điểm \(t = 3(s)\) là:
\(I = 10\;m.\)
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\int\limits_1^{10} {f(x)\;dx = 7} ,\int\limits_6^{10} {f(x)\;dx = – 5.} \;\)Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\int\limits_1^6 {f(x)\;dx = - 2.} \)
Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_{ – 2}^2 {x\left( {{x^6} + 8{x^4} – 7{x^2} + 2} \right)} dx\) là:
\(I = 2.\)
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), trục Ox và hai đường thẳng\(x = a\,,\,x = b\). Thể tích của khối tròn xoay sinh ra do hình (H) quay quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int_a^b {{{\left( {f(x)} \right)}^2}dx.} \)
13. Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {4{{\cos }^2}x\;dx} \) là:
\(I = \frac{7}{2}.\)
Tìm nguyên hàm \(F(x) = \int {{3^x}\left( {1 – {{\left( {\frac{e}{3}} \right)}^x}} \right)dx} .\)
\(F(x) = {3^x} - {e^x} + C,\;C \in R.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} \;dx} \) bằng cách đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} .\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(I = \int\limits_0^2 {\frac{{2{t^2}}}{3}\;dt.} \)
Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\,,\,y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và ha\(V = \pi \int_a^b {{{\left( {f(x)} \right)}^2}dx.} \)i đường thẳng \(x = a\,,\,x = b\) . Diện tích S của hình (H) là:
\(S = \int\limits_a^b {\left[ {\left| {{f_1}\left( x \right)} \right| - \left| {{f_2}\left( x \right)} \right|} \right]dx} .\)
Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = \frac{{2x}}{{2x – 1}}\) thỏa mãn F(1)=0
\(F(x) = \frac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right| - 1.\)
Cho \(a > 0,\;a \ne 1.\)Khẳng định nào sau đây sai?
\(\int {{a^x}\;dx = {a^x} + C.} \)
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường\(x = 0,x = \frac{\pi }{4},y = 0,y = \frac{1}{{\cos x}}\) xung quanh trục Ox bằng:
\(\pi \) (đvtt).
Cho \(F(x) = \int {(x + 1)\sin x\;dx} .\) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x + 1\\
dv = \sin xdx
\end{array} \right.\) , ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}
du = 1.dx\\
v = – \cos x
\end{array} \right..\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(F(x) = (x + 1)( - \cos x) - \int {\cos x\;dx} .\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường\(y = {x^3} – 3{x^2} + 2,y = x – 1\) ta được
\(S = 2\) (đvdt).
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = x\) quanh trục Ox.
\(\frac{\pi }{4}\) (đvtt).
Tính nguyên hàm \(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} \;dx} \) bằng cách đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} .\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} \;dx} = \int {\frac{{2{t^2}}}{3}\;dx.} \)
Tìm nguyên hàm \(F(x) = \int {{{\left( {3x – 1} \right)}^3}} dx.\)
\(F(x) = \frac{{{{(3x - 1)}^4}}}{4} + C,\;C \in R.\)
Một học sinh tính tích phân I = \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\tan x + 1}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \) như sau :
B1:Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx\) B2: Đổi cận : \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\;x = \frac{\pi }{4} \Rightarrow t = 1.\)
B3: \(I = \int\limits_0^1 {t\;dt.} \) B4: \(I = 1\)
Bước giải sai đầu tiên của học sinh là:
Bước 2
Hàm số \(f(x) = \cos 3x + 1\) là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?
\(g(x) = - \frac{1}{3}sin3x + x.\)
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
\(\int\limits_0^1 {\ln (x + 2)dx = \left. {(x + 2)\ln (x + 2)} \right|} _0^1 + \int\limits_0^1 {1\;dx} .\).
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(x = 0,\,x = 1,\,y = 0,\,y = {e^x}\) là:
\(S = e\) (đvdt).
Cho F(x) là một nguyên hàm của ƒ(x) trên [a;b]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\int\limits_a^b {f(x)dx = } F(b) - F(a).\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 3{x^2} + 1.\)
\(\int {f\left( x \right)dx = \frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + x} + C,\;C \in R.\)
Kết quả: