Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\), \({z_2} = 3 – 2i\). Tích \({z_1}.{z_2}\) bằng:
\( - 5i\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y – 2z – 7 = 0.\) Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
\(\sqrt 7 \).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + y + z + 1 = 0\).
\(O\left( {0;\,0;\,0} \right)\).
Thể tích của khối cầu có bán kình bằng \(r = 2\) là
\(V = \frac{{8\pi }}{3}\).
Trên khoảng \((0; + \infty )\), họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^{ – \frac{3}{4}}}\) là:
\(\int f (x)dx = 4{x^{\frac{1}{4}}} + C\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên trục trên \(\mathbb{R}\)và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x – 1} \right)^2}{\left( {x – 2} \right)^3}\). Số điểm cực trị của hàm \(y = f\left( x \right)\) số là:
\(2\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}x > – 2\) là
\(\left( { - \infty ;\frac{1}{{25}}} \right)\).
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Biết \(SA\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là:
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {2x – 1} \right)^\pi }\) là:
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 1 + {\log _2}\left( {x – 1} \right)\) là
\(x = 2\).
Nếu \(\int\limits_{ – 2}^3 {f\left( x \right){\text{d}}x = 2} \) và \(\int\limits_{ – 2}^3 {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = 7\)thì \(\int\limits_{ – 2}^3 {g(x)dx} = 7\) bằng
\( - 5\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(iz + \left( {1 – i} \right)\bar z = – 2i\). Tổng phần thực và phần ảo của số phức \(w = \left( {z + 1} \right)\overline z \) bằng
\(22\).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{{ – 1}} = 1\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3\,;2\,; - 6} \right)\).
Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = \left( {1;\;m;\; – 1} \right)\)và \(\overrightarrow b = \left( {2;\;1;\;3} \right)\). Tìm giá trị của \(m\) để \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \).
\(m = - 1\).
Số phức \(w\) là nghịch đảo của số phức \(z = – 2 + i\). Phần thực của số phức \(w\) là
\( - \frac{1}{2}\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 – 3x}}{{x + 2}}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
\(x = - 2,\,y = - 3\).
Cho \(a\) là số thực dương. Viết và rút gọn biểu thức \({a^{\frac{3}{{2022}}}}.\sqrt[{2022}]{a}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Tìm số mũ của biểu thức rút gọn đó
\(\frac{3}{{{{2022}^2}}}\).
Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên dưới 
\(y = 2{x^4} - 4{x^2} + 1\).
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 3}}{3}\) đi qua điểm nào dưới đây?
Điểm \(P\left( { - 2;1; - 3} \right)\).
Với k và n là hai số nguyên dương ( \(k \leqslant n\)), công thức nào dưới đây đúng?
\(A_n^k = \frac{{n!}}{{(k - n)!}}\).
Thể tích của khối lập phương cạnh \(3a\) bằng
\(9{a^3}\).
Trên tập \(\mathbb{R}\), đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 2023} \right)\) là
\(y' = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2023}}\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
\(\left( {4; + \infty } \right)\).
Gọi \(l,h,R\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
\(\frac{1}{{{l^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{R^2}}}\).
Nếu \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 4\) thì \(\int\limits_0^3 {3f\left( x \right){\text{d}}x} \) bằng
\(36\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = – 3\), \({u_5} = 5.\) Tìm công sai \(d.\)
\(2\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3 – 2{\cos ^2}x\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2x - \frac{1}{2}\sin 2x + C\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( {x – 2} \right)\) bằng?
\(2\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2\) trên đoạn \(\left[ { – 1;2} \right]\) bằng
\( - 4\).
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
\(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 6x\).
Với mọi \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\frac{{{{\log }_3}a.{{\log }_2}3}}{{1 + {{\log }_2}5}} + \log b = 1\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(a + b = 1\).
Cho hình lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AD'\) và \(DC’\) bằng
\(60^\circ \).
Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 10\). Kết quả \(\int\limits_2^5 {\left[ {2 – 3x – 4f\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} \) bằng
\(\frac{{ - 291}}{2}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(E( – 1;5;4)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – 3z + 2 = 0\). Đường thẳng đi qua \(E\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{gathered} x = - 1 - t \hfill \\ y = 5 \hfill \\ z = 4 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z – 3 + 5i = 6 + 7i\). Phần thực của \(z\) là
\(9\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC:)A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(C\) và \(AB = 4\). Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) là:
\(\sqrt 2 \).
Một hộp có \(5\) bi vàng, \(4\) bi xanh. Chọn ngẫu nhiên \(2\) bi. Xác suất \(2\) bi được chọn cùng màu là
\(\frac{5}{9}\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A(1;2;0),B(1;1;2),C(2;3;1)\). Đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \(BC\) có phương trình là
\(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\).
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(({25^x} – {4.5^{x + 1}} – 125)\sqrt {3 – {{\log }_2}x} \geqslant 0\)?
\(6\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là
\(11\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = – 20{x^3} + 6x,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { – 1} \right) = 2\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\), khi đó \(F\left( 2 \right)\) bằng
\( - 1\).
Cho khối chóp đều \(S.ABCD\) có \(AC = 6a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng:
\(9\sqrt 6 {a^3}\).
Gọi \(O = AC \cap BD\) và \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AB,CD\). Do \(AC = 6a \Rightarrow AB = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = 3a\sqrt 2 \). Đồng thời \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = d\parallel \,AB\parallel CD\)Dễ dàng chứng minh \(SM \bot AB\) và \(SN \bot CD\) (do \(\Delta SAB,\Delta SCD\)cân tại \(S\)).Suy ra \(\widehat {\left[ {\left( {SAB} \right),\left( {SCD} \right)} \right]} = \widehat {\left( {SM;SN} \right)} = {60^0}\). Từ đó suy ra \(\Delta SMN\) đều hay \(SO = \frac{{MN\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a\sqrt 6 }}{2}\).Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 6 }}{2}.{\left( {3a\sqrt 2 } \right)^2} = 9\sqrt 6 {a^3}\).Trong tập hợp các số phức, cho phương trình \({z^2} – 2\left( {m – 1} \right)z + 5m – 9 = 0\) (\(m\) là tham số thực).Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_1},\,{z_2}\) sao cho \(\left| {{z_1}} \right| = \,\left| {{z_2}} \right|\)?
\(2\).
Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {\frac{{\left( {2 – i} \right)z – 3i – 1}}{{z – i}}} \right| = 2\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \({\text{w}} = \frac{1}{{iz + 1}}\). Xét các số phức \({{\text{w}}_1},{{\text{w}}_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{{\text{w}}_1} – {{\text{w}}_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = {\left| {{{\text{w}}_1} – 4i} \right|^2} – {\left| {{{\text{w}}_2} – 4i} \right|^2}\) bằng.
\(4\sqrt {13} \).
Cho hai hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + {\text{d}}x – \frac{4}{3}\) \((a,b,c,d \in \mathbb{R}\)) và \(g(x) = m{x^3} + n{x^2} + px\)\(\left( {m,n,p \in \mathbb{R}} \right)\). Đồ thị hai hàm số \(f'(x)\) và \(g'(x)\) được cho ở hình bên dưới. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f(x)\) và \(y = g(x) + \frac{1}{3}{\left( {x – 2} \right)^2}\) biết rằng \(AB = 4\).
\(\frac{{512}}{{45}}\).
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;3; – 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,x + y + z + 3 = 0.\) Đường thẳng đi qua \(A,\) cắt trục \(Ox\) và song song với \(\left( \alpha \right)\)có phương trình là:
\(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\).
Cho hình nón có chiều cao bằng \(3a\), biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\)đi qua đỉnh hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc \({60^0}\), thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
\(45\pi {a^3}\).
Xét hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao \(h = SO = 3a\). Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng \(\left( P \right)\)là tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\).Kẻ \(OH \bot AB\) và \(SO \bot AB\) nên \(AB \bot \left( {SHO} \right) \Rightarrow AB \bot SH\)Vậy góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\)và mặt phẳng đáy bằng \(\widehat {SHO} = {60^0}\).Xét \(\Delta OHS\)vuông tại \(O\)có \(OH = SO.\cot \widehat {SHO} = 3a.\cot {60^0} = a\sqrt 3 \); \(SH = \sqrt {O{H^2} + S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = 2a\sqrt 3 \)Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\)nên suy ra \(HA = HB = HS = 2a\sqrt 3 \).Xét tam giác \(HAO\) vuông tại \(H\), ta có:\(R = OA = \sqrt {O{H^2} + H{A^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}} = a\sqrt {15} \)Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón là: \(V = \frac{1}{3}h.\pi {R^2} = \frac{1}{3}.3a.\pi .{\left( {a\sqrt {15} } \right)^2} = 15\pi {a^3}.\)Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất bốn số nguyên \(b \in \left( { – 10;10} \right)\) thỏa mãn \({5^{{a^2} + b}} \leqslant {4^{b – a}} + 26\) ?
\(6\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 2)^2} = 25\) và đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{9} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z – 5}}{4}\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc tia \(Oy\), với tung độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \(\left( S \right)\) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với \(d\) ?
\(84\).
Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\)để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{f^2}\left( x \right) – 4f\left( x \right) – m} \right|} \right)\) có \(17\) điểm cực trị là
\(1652\).
Vậy số giao điểm của các đường thẳng \(y = m – 2;y = m;y = m + 2\) với đồ thị \(u\left( x \right)\) là 12 điểm phân biệt\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} – 3 \leqslant m – 2 < 60 \hfill \\ - 3 \leqslant m + 2 < 60 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow - 1 \leqslant m < 58 \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;...;57} \right\} \Rightarrow S = 1652\).Kết quả: