Cho số phức \(z = 3 – 4i\). Môđun của \(z\) bằng
\(25\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 9\). Tìm tọa độ tâm của mặt cầu \(\left( S \right).\)
\(\left( { - 1; - 2;5} \right).\)
Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 2{x^2} – 1\) ?
Điểm \(N\left( { - 1; - 2} \right)\)
Một khối cầu có bán kính \(2R\) thì có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?
\(V = \frac{{24\pi {R^3}}}{3}\).
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3x + 2\) là hàm số nào trong các hàm số sau ?
\(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x + C\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm kết luận đúng?
Hàm số \(f\left( x \right)\) có điểm cực đại là \(x = 4\).
Tìm tập nghiệm \(S\)của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 8.\)
\(S = ( - \infty ; - 3)\).
Khối lập phương có thể tích bằng \(8\). Tính độ dài cạnh của hình lập phương đó
\(4\).
Tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {2x – 1} \right)^\pi }\).
\(D = \left( {\frac{1}{2};\,\, + \infty } \right)\).
Tập nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} – 3x + 3} \right) = 1\) là
\(\left\{ {0;3} \right\}.\)
Cho \(\int\limits_a^c {f\left( x \right){\text{d}}x} = 17\) và \(\int\limits_b^c {f\left( x \right){\text{d}}x} = – 11\) với \(a < b < c\). Tính \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\text{d}}x} \).
\(I = 6\).
Cho hai số phức \({z_1} = 1 – 2i\), \({z_2} = – 2 + i\). Tìm số phức \(z = {z_1}{z_2}\).
\(z = 5i\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y – 1 = 0\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là
\(\vec n = \left( {2;\,1;\, - 1} \right)\).
Trong không gian với trục hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow a = – \overrightarrow i + 2\overrightarrow j – 3\overrightarrow k .\) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là:
\(\overrightarrow a \left( { - 3;2; - 1} \right)\).
Số phức \(z = 2 – 3i\)có điểm biểu diễn là
\(\left( {2; - 3} \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 3}}{{x – 1}}\) có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
\(x = 2\) và \(y = 1\).
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Tính \(I = {\log _a}\sqrt[3]{a}\).
\(I = 3\).
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau:
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\).
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: \(\left\{ \begin{gathered} x = 2 + 3t \hfill \\ y = – 1 – 4t \hfill \\ z = 5t \hfill \\ \end{gathered} \right.\) đi qua điểm nào sau đây?
\(M(8;\,9;\,10)\)
Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm \(52\) con?
\(1326.\)
Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là \(\sqrt 3 {a^2}\). Độ dài cạnh bên là \(a\sqrt 2 \). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:
\(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\pi ^x}\).
\(y' = x{\pi ^{x - 1}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ 
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right).\)
Cho khối trụ có chiều cao bằng \(4a\) và bán kính đáy bằng \(2a\). Thể tích khối trụ đã cho bằng
\(\frac{{16}}{3}\pi {a^3}\).
Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 10\). Khi đó \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} \) bằng :
\(32\) .
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \(\;{u_1} = 11\) và công sai \(d = 4\). Hãy tính \({u_{99}}\).
\(402.\)
Phát biểu nào sau đây là phát biểu đúng?
\(\int {\sin 2xdx = 2\cos 2x + C,C \in \mathbb{R}} \).
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) với bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f(x)\) là
\(3\).
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x – 4\) trên đoạn \(\left[ { – 4;\,0} \right]\) lần lượt là \(M\) và \(n\). Giá trị của tổng \(M + n\) bằng
\(\frac{4}{3}\).
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 2}}\).
Với \(a\), \(b\) là hai số thực dương tùy ý, \(\log \left( {a{b^2}} \right)\) bằng
\(\log a + 2\log b\).
Cho hình lập phương \(ABCD:)A'B'C'D'\), góc giữa hai đường thẳng \(A'B\) và \(B'C\) là
\(45^\circ \).
Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – 2x} \right]dx = 1.} \) Khi đó \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) bằng :
\(1\).
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\left( d \right):\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{{ – 3}}\) và điểm \(B\left( { – 1;0;2} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(B\) và vuông góc đường thẳng \(\left( d \right)\).
\(2x + y + 3z - 4 = 0\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {1 + 2i} \right)z = 5{\left( {1 + i} \right)^2}\). Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức \(w = \bar z + iz\) bằng:
\(8\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\),\(BC = a\sqrt 2 \), đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng đáy bằng \({30^0}\). Gọi \(h\) là khoảng cách từ điểm \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
\(h = \frac{a}{2}\).
Gieo một con súc sắc. Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là:
\(0,4\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2; – 1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – 3y + z – 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{1}\)
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({4^x} – {8.2^x} + 4 = 0\) bằng bao nhiêu?
\(8\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình \(f\left( {2 – x} \right) – 1 = 0\) là
\(3\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_1^{{e^3}} {\frac{{f\left( {\operatorname{lnx} } \right)}}{x}} dx = 7\), \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\cos x} \right).\sin x} dx = 3\). Tính \(\int\limits_1^3 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right)} dx\).
\(12\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm của cạnh \(AB\). Cạnh bên \(SD = \frac{{3a}}{2}\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\) theo \(a\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}{a^3}\).
Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} – z + 1 = 0\). Giá trị của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng.
\(0\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(5\left| {z – i} \right| = \left| {z + 1 – 3i} \right| + 3\left| {z – 1 + i} \right|\). Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của \(\left| {z – 2 + 3i} \right|\) ?
\(M = 1 + \sqrt {13} \)
Cho hàm số \(f(x) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\). Hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\(a + c > 0\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {1; – 4;0} \right)\),\(B\left( {3;0;0} \right)\). Viết phương trình đường trung trực \(\left( \Delta \right)\) của đoạn \(AB\) biết \(\left( \Delta \right)\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y + z = 0\).
\(\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = 2 + 2t \hfill \\ y = 2 - t \hfill \\ z = - t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có các cạnh đều bằng \(a\sqrt 2 \). Tính thể tích khối nón có đỉnh \(S\) và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác \(ABCD\).
\(V = \frac{{\pi {a^3}}}{6}\).
Gọi \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).Ta có : \(OA = \frac{1}{2}AC\) \( = a\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} – A{O^2}} \) \( = a\).Hình nón đỉnh \(S\) có chiều cao \(h = SO\) \( = a\), bán kính đáy \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\), có thể tích là :\(V = \frac{1}{3}{\text{\pi }}{r^2}h\) \( = \frac{{{\text{\pi }}{a^3}}}{6}\).Gọi \(S\) là tổng tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để bất phương trình \(\ln \left( {7{x^2} + 7} \right) \geqslant \ln \left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\). Tính \(S\).
\(S = 35\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {m;0;0} \right)\), \(B\left( {0;m – 1;0} \right)\); \(C\left( {0;0;m + 4} \right)\) thỏa mãn \(BC = AD\), \(CA = BD\) và \(AB = CD\). Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoai tiếp tứ diện \(ABCD\) bằng
\(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\) .
Đặt \(BC = a\); \(CA = b\); \(AB = c\) .Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trrung điểm của \(AB\) và \(CD\).Theo giả thiết ta có tam giác \(\Delta ABC = \Delta CDA\) \(\left( {c.c.c} \right)\)\( \Rightarrow CM = DM\) hay tam giác \(CMD\) cân tại \(M\) \( \Rightarrow MN \bot CD\).Chứng minh tương tự ta cũng có \(MN \bot AB\).Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\) thì \(IA = IB\) và \(IC = ID\).Mặt khác ta lại có \(AB = CD\) nên \(\Delta BMI = \Delta CNI\) \( \Rightarrow IB = IC\) hay \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).Ta có \(I{A^2} = I{M^2} + A{M^2}\)\( = \frac{{M{N^2}}}{4} + \frac{{A{B^2}}}{4}\)\( = \frac{{M{N^2} + {c^2}}}{4}\).Mặt khác \(CM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên \(C{M^2} = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}}}{4}\) \( \Rightarrow M{N^2} = C{I^2} – C{N^2}\)\( = \frac{{2{a^2} + 2{b^2} – {c^2}}}{4} – \frac{{{c^2}}}{4}\)\( = \frac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{2}\).Vậy \(I{A^2} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{8}\).Với \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 2{m^2} + 2{\left( {m – 1} \right)^2} + 2{\left( {m + 4} \right)^2}\)\( = 6{\left( {m + 1} \right)^2} + 28\)Vậy \(I{A^2} = \frac{{6{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 28}}{8} \geqslant \frac{7}{2}\)\( \Rightarrow I{A_{\min }} = \sqrt {\frac{7}{2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}\).Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) cho bởi hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{{{x^2}}}{2}\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Hỏi đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
\(1\).
Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đồ thị hàm số \(y = x\) ta thấy \(f'\left( x \right) – x > 0\) với \(\forall x \in \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)\(f'\left( x \right) – x < 0\) với \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\)Ta có bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)
Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.Kết quả: