Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 6

a) Hàm số f(x) đồng biến trên (-1;1)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

c) Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3x\)

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất là -4

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (2;4) và điểm cực tiểu (-2;-4)

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)

c) Nếu có \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành

d) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\)

b) \(\overrightarrow c + \overrightarrow d = (4;2;2)\)

c) \(\overrightarrow c .\overrightarrow d = 1\)

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) bằng \({90^o}\)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1) và (2;+∞); nghịch biến trên khoảng (1;2).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Ta có đây là đồ thị hàm số bậc 3 dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), mặt khác hệ số a > 0 (vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 3;1]} f(x) = 2\), \(\mathop {\min }\limits_{[ - 3;1]} g(x) = - 3\). Vậy M + m = 2 + (-3) = -1.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ - }} f(x) = + \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 5\) nên y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{ - 2x + 3}} = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4} - \frac{{15}}{{4( - 2x + 3)}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - \left( { - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } - \frac{{15}}{{4( - 2x + 3)}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ tại y’’ = 0.

\(y' = 3{x^2} + 6x - 9\), \(y'' = 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).

Thay x = -1 vào hàm số, được y = 12.

Lý thuyết góc giữa hai vecto trong không gian.

Góc giữa hai vecto có tập giá trị từ \({0^o}\) đến \({180^o}\).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất là 4000000 đồng khi sản xuất 200 sản phẩm.

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

Hàm số xác định trên (1;3].

\(f'(x) = \frac{{{x^2} - 2x - 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 6 \notin (1;3]}\\{x = 1 - \sqrt 6 \notin (1;3]}\end{array}} \right.\)

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \frac{\pi }{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 3}}{{x - 1}}\) bằng 9.

Hàm số đạt cực trị tại \({x_0}\) khi f’(x) đổi dấu khi đi qua \({x_0}\).

Quan sát đồ thị thấy f’(x) đổi dấu khi đi qua x = -1. Vậy f(x) có duy nhất 1 điểm cực trị là x = -1.

Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = AB.AD.\cos {60^o} - AB.AC.\cos {60^o} = 0\).

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {90^o}\).

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto và tính độ dài vecto.

\({\left( {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)^2} = 9{\overrightarrow a ^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\overrightarrow b ^2}\)

\(= 9{\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 30\overrightarrow a \overrightarrow b + 25{\left| {\overrightarrow b } \right|^2} \)

\(= 9.1 + 30.3 + 25.1 = 124 \)

\(\Rightarrow \left| {3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right| = \sqrt {124} \).

a) Hàm số f(x) đồng biến trên (-1;1)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

c) Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3x\)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a)Đúng. Hàm số f(x) đồng biến trên (-1;1).

b) Đúng. Hàm số có 2 điểm cực trị là x = 1; x = -1.

c) Đúng. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

d) Sai. Đồ thị hàm số là \(y = - {x^3} + 3x\).

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất là -4

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (2;4) và điểm cực tiểu (-2;-4)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0 và tiệm cận xiên y = 2x.

b) Đúng. Vì gốc tọa độ O là trung điểm của 2 cực trị (2;4) và (-2;-4) nên là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Sai. Hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Sai. Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực tiểu (2;4) và điểm cực đại (-2;-4) .

a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)

c) Nếu có \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành

d) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc hình bình hành.

a) Sai. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \) chưa phải là điều kiện đủ để tứ giác ABCD là hình bình hành.

b) Sai. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) suy ra ABCD là hình bình hành (theo quy tắc hình bình hành).

d) Sai. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\)

b) \(\overrightarrow c + \overrightarrow d = (4;2;2)\)

c) \(\overrightarrow c .\overrightarrow d = 1\)

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) bằng \({90^o}\)

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto, góc giữa hai vecto.

a) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5\).

b) Đúng. Vì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3 + 1;4 - 2;0 + 2) = (4;2;2)\).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.1 + 4.( - 2) + 0.2 = - 5\).

d) Sai. Vì \(\cos \left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right) = \frac{{\overrightarrow c .\overrightarrow d }}{{\left| {\overrightarrow c } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{ - 1}}{3}\) nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow c ,\overrightarrow d \) bằng xấp xỉ \({109^o}\).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0.

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Tập xác định: D = [-1;1].

Ta có: \[f'(x) = \sqrt {1 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \frac{{1 - 2{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}}\\{x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right.\]

f(-1) = f(1) = 0; \(f\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\); \(f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).

Vậy \(M + m = \frac{1}{2} + \frac{{ - 1}}{2} = 0\).

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Ta luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1.

Đồ thị hàm số có đúng 2 đường tiệm cận khi và chỉ khi \({x^2} + m = 0\) có nghiệm x = 1 hoặc x = 2.

Khi x = 1 thì m = -1. Khi x = 2 thì m = -4. Vậy tổng các giá trị của m là -1 + (-4) = -5.

Tìm giao điểm O của AC và BD, từ đó tìm được D. Thông qua \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \) ta tìm được tọa độ B’.

Giả sử D(a;b;c), B’(a’;b’;c’). Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC.

Từ đó, ta tính được tọa độ điểm O\(\left( {\frac{1}{2};4;\frac{{ - 7}}{2}} \right)\).

Vì O là trung điểm của BD nên từ B(4;0;0) ta tìm được D(-3;8;-7).

Vậy, \(\overrightarrow {DD'} = (9;0;17)\). Mà ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} = (9;0;17)\).

Mà \(\overrightarrow {BB'} = (a' - 4;b';c')\), suy ra a’ = 13, b’ = 0, c’ = 17.

Vậy B’(13;0;17). Tổng hoành độ, tung độ, cao độ của điểm B’ bằng 13 + 0 + 17 = 30.

Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Xét G(x) trên đoạn [0;15].

Ta có: \(G(x) = 0,035(15{x^2} - {x^3}) \Rightarrow G'(x) = 0,035(30x - 3{x^2})\).

\(G'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 10}\end{array}} \right.\)

Mặt khác, G(15) = 0; G(10) = 17,5; G(15) = 0. Vậy x cần tìm là 10.

Tìm tọa điểm cực trị A, B của hàm số theo tham số m. Từ biểu thức độ dài OA = OB, tìm m.

Tập xác định: D = R.

\(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn có 2 điểm cực trị lần lượt có tọa độ là A(0; m) và B(2; -4 + m).

Ta có: \(OA = OB \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + {m^2}} = \sqrt {{2^2} + {{(4 - m)}^2}} \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {(4 - m)^2}\)

\( \Leftrightarrow 20 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\).

Vậy a = 5, b = 2. Suy ra a + b = 5 + 2 = 7.

Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình g’(x) = 0.

Ta có: \(g'(x) = [f({x^2} - 3)]' = ({x^2} - 3)'f'({x^2} - 3) = 2xf'({x^2} - 3)\).

\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}{2x = 0}\\{f'({x^2} - 3) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}{x = 0}\\{{x^2} - 3 = - 2}\\{{x^2} - 3 = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm 1}\\{x = \pm 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì f’(x) không đổi dấu khi qua x = 1 nên g(x) có 3 điểm cực trị.