Cho số phức \(z = 3 + 2i\). Tính \(\left| z \right|\).
\(\left| z \right| = \sqrt 5 \).
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\) có tâm và bán kính lần lượt là
\(I\left( {1;2; - 3} \right)\), \(R = 2\).
Điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 2{x^2} + 3\) ?
Điểm \(P\left( {2; - 11} \right)\)
Một khối cầu có bán kính \(\frac{R}{2}\) thì có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?
\(V = \frac{{{R^3}\pi }}{3}\).
Một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x + 1\) là
\(F(x) = {x^2} + C\).
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số có cực đại là
\(y = 5\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} > 4\) là
\(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Khối chóp có đáy là hình vuông cạnh \(a\) và chiều cao bằng \(4a\). Thể tích khối chóp đã cho bằng
\(\frac{4}{3}{a^3}\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\left( {1 – 2x} \right)^{\sqrt 5 }}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\).
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _3}\left( {x – 1} \right) = 2.\)
\(S = \left\{ {10} \right\}\).
Cho \(f\left( x \right)\), \(g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) với \(a < b,\)\(\int\limits_a^b {f\left( x \right){\text{d}}x} = 3\) và \(\int\limits_a^b {g\left( x \right){\text{d}}x} = 1\). Tính \(I = \int\limits_a^b {\left[ {3f\left( x \right) - 5g\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} \).
\(I = 4\).
Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\), \({z_2} = – 4 – 5i\). Số phức \(z = {z_1} + {z_2}\) là
\(z = - 2 - 2i\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\): \( – 3x + 2z – 1 = 0\). Vectơ \(\overrightarrow n \) nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\(\overrightarrow n = \left( {3;0;2} \right)\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;\, – 1;\,2} \right)\), \(\overrightarrow b = \left( {3;\,0;\, – 1} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( { – 2;\,5;\,1} \right)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + \overrightarrow b – \overrightarrow c \) là:
\(\overrightarrow u = \left( {6;\,0;\, - 6} \right)\)
Điểm M là biểu diễn của số phức z trong hình vẽ bên dưới. Chọn khẳng định đúng
\(z = 2 + 2i\).
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{2 – x}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng:
\(x = 2.\)
Với \(a\) là số thực dương, \(\log _3^2\left( {{a^2}} \right)\)bằng:
\(\frac{4}{9}{\log _3}a\).
Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào?
\(f(x) = - {x^4} + 2{x^2} - 1\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 2 + 3t \hfill \\ z = 5 – t \hfill \\ \end{gathered} \right.\) \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Vectơ chỉ phương của \(d\) là
\(\,\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 1} \right)\).
Cho \(A\) là tập hợp gồm 20 điểm phân biệt. Số đoạn thẳng có hai điểm đầu mút phân biệt thuộc tập \(A\) là:
\(190\)
Cho hình lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng \(a\). Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{5}{e^{4x}}\).
\(y' = - \frac{4}{5}{e^{4x}}\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên bên dưới. 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;0} \right)\).
Cho khối trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng \(3a\), chiều cao bằng \(4a\), với \(0 < a \in \mathbb{R}\). Thể tích của khối trụ tròn xoay đã cho bằng
\(36\pi {a^3}\).
Nếu \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} = – 4\) thì \(\int\limits_1^3 {2f\left( x \right){\text{d}}x} \) bằng
\(8\)
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công sai \(d = 5\), số hạng thứ tư là
\({u_4} = 8\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x – \sin 2x\) là
\(\int f (x){\mkern 1mu} {\text{d}}x = {x^2} + \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tìm số điểm cực đại của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 2;3} \right]\).
.
\(1\).
Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 35\) trên đoạn \(\left[ { – 4;4} \right]\) . Tính \(M + 2m\) .
\(M + 2m = 39\)
Hàm số \(f(x) = {x^4} – 2\) nghịch biến trên khoảng nào?
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
Nếu \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 4{\log _2}b\) (\(a,b > 0\)) thì \(x\) bằng.
\({a^5}{b^4}\).
Cho hình chóp \(S.\,ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(2a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc mặt đáy và \(SA = a\). Gọi \(\varphi \) là góc tạo bởi \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Xác định \(\cot \varphi \)?
\(\cot \varphi = 2\).
Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – 2x} \right]dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\)bằng :
\( - 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\): \(\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;0; – 1} \right)\) và vuông góc với \(d\) có phương trình là
\(\left( P \right)\): \(x - y + 2z + 2 = 0\)
Cho số phức \(z = 4 + 6i\). Tìm số phức \(w = i.\bar z + z\)
\(w = 10 + 10i\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(AB = a\), \(AA' = 2a\). Tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\)
\(2\sqrt 5 a\).
Gieo đồng tiền hai lần. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần
\(\frac{3}{4}\).
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { – 1;3;2} \right)\), \(B\left( {2;0;5} \right)\) và \(C\left( {0; – 2;1} \right)\). Phương trình trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) là.
\(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 4}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\)
Có bao nhiêu số tự nhiên \(x\) không vượt quá \(2023\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \geqslant 0\)?
\(2025\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right],\) và có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ bên.
Hỏi phương trình \(\left| {f\left( x \right) – 1} \right| = 2\) có bao nhiêu nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right].\)
\(3\).
* Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right) – 1} \right| = 2\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số: \(y = \left| {f\left( x \right) – 1} \right|\) và đường thẳng \(y = 2\).* Dựa đồ thị ta có phương trình \(\left| {f\left( x \right) – 1} \right| = 2\) có \(4\) nghiệm phân biệt trên đoạn \(\left[ { – 2;2} \right].\)Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(R\). Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Khi đó giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^4 {f'\left( {x – 2} \right)dx} + \int\limits_0^2 {f'\left( {x – 2} \right)dx} \) bằng bao nhiêu ?
\(10\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SB với mặt phẳng (ABCD) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là
\(3\sqrt 3 {a^3}\).
\({S_{ABCD}} = {a^2}\); \(SA = AB.\tan {60^{\text{o}}} = a\sqrt 3 \) \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}}}{{\sqrt 3 }}\)Cho các số phức \({z_1}\not = 0,\,\,{z_2}\not = 0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{2}{{{z_1}}} + \frac{1}{{{z_2}}} = \frac{1}{{{z_1} + {z_2}}}.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = \left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| + \left| {\frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}} \right|.\).
\(P = 2\).
Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 1 – i} \right| = 2\) và \({z_2} = i{z_1}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của biểu thức \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)?
\(m = 2\sqrt 2 - 2\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của \(f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { – 2;6} \right]\) như hình bên dưới. Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(f\left( { - 2} \right) < f\left( 2 \right) < f\left( { - 1} \right) < f\left( 6 \right)\).
Chỉ cần so sánh \(f\left( { – 2} \right)\) và \(f\left( 2 \right)\) nữa là xong.Gọi \({\text{cos}}\widehat {CAB} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \), \({S_2}\) là diện tích hình phẳng được tô đậm như trên hình vẽ.Ta có:\({S_1} = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\text{d}}x} \)\( = \int\limits_{ – 2}^{ – 1} {f'\left( x \right)dx} \)\( = f\left( { – 1} \right) – f\left( { – 2} \right)\).\({S_2} = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {f'\left( x \right)} \right|{\text{d}}x} \)\( = – \int\limits_{ – 1}^2 {f'\left( x \right){\text{d}}x} \)\( = f\left( { – 1} \right) – f\left( 2 \right)\).Dựa vào đồ thị ta thấy \({S_1} < {S_2}\) nên \(f\left( { - 1} \right) - f\left( { - 2} \right) < f\left( { - 1} \right) - f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) > f\left( 2 \right)\).Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {1;2;2} \right)\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z + 3 = 0\) đồng thời cắt đường thẳng \(d:\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{1} = \frac{{z – 3}}{1}\) có phương trình là
\(\left\{ \begin{gathered} x = 1 - t \hfill \\ y = 2 - t \hfill \\ z = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\).
Một hình nón có thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua trục của hình nón là một tam giác vuông cân với cạnh huyền bằng \(2a\sqrt 2 \). Tính thể tích \(V\) của khối nón.
\(V = 2\frac{{\pi \sqrt 2 {a^3}}}{9}\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \({9^{\sqrt {{x^2} – 3x + m} }} + {2.3^{\sqrt {{x^2} – 3x + m} – 2 + x}} < {3^{2x - 3}}\) có nghiệm?
\(9\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P):\;x + 2y + 2z + 4 = 0\) và mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z – 1 = 0.\) Giá trị của điểm \(M\) trên \(\left( S \right)\) sao cho \(d\left( {M,\left( P \right)} \right)\) đạt GTNN là
\(\left( {\frac{5}{3};\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)\).
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\).
Hỏi đồ thị của hàm số \(g\left( x \right) = \left| {2f\left( x \right) – {{\left( {x – 1} \right)}^2}} \right|\) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?
\(11\).
Kết quả: